51nod 1165 整边直角三角形的数量（两种解法）
直角三角形，三条边的长度都是整数。给出周长N，求符合条件的三角形数量。
例如：N = 120，共有3种不同的满足条件的直角3角行。分别是：{20,48,52}, {24,45,51}, {30,40,50}。
输入：
第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。（1 <= T <= 50000) 第2 - T + 1行：每行1个数N(12 <= N <= 10^7)。
输出：
输出共T行，每行1个对应的数量。
解法1：所有本原直角三角形（即边为a、b、c，gcd（a，b，c）==1）可表示为两奇数s和t,s>t，gcd(s,t)==1, 边为st，(s*s-t*t)/2,(s*s+t*t)/2
反之，任意符合条件的s，t也可通过这样组成本原直角三角形
所以周长C= s*(s+t) ，对于C<=1e7,发现是s是sqrt级别的,可以s^2暴力求gcd即O（n*gcd复杂度），求出所有在数据范围内的本原直角三角形的周长
那么对于一个周长n，不同的直角三角形必定对应着不同的本原直角三角形，所以本原直角三角形周长必定是n的因子，枚举n的因子，然后统计答案
#include<bits/stdc++.h> #define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) #define lowbit(x) (x&(-x)) #define lson (rt<<1) #define rson (rt<<1|1) using namespace std; typedef long long ll; typedef long long LL; typedef unsigned long long ull; typedef pair<ll,ll> pll; typedef pair<ll,int>pli; typedef pair<int,int> pii; const int inf = 0x3f3f3f3f; const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f; const int maxn = 1e7+50; const int mod = 1e9+7; int mi[maxn],use[maxn],ggg[maxn]; void init(int c=maxn-10){ int cc=0; for(int i=2; i<=c; ++i) { if(!mi[i])use[++cc]=i,mi[i]=i; int to=c/i; for(int j=1; j<=cc and use[j]<=to; ++j) { mi[use[j]*i]=use[j]; if(i%use[j]==0) break; } } int u=sqrt(c); for(int i=3;i<=u;i+=2){ int to=min(i-1,(c-i*i)/i); for(int j=1;j<=to;j+=2){ if(__gcd(i,j)==1){ ++ggg[i*(i+j)]; } } } } int f[520],cnt[520],cc; int d[50000],gg; void dfs(int cur,int now){ if(cur>cc){ d[++gg]=now; }else{ for(int i=0;i<=cnt[cur];++i){ dfs(cur+1,now); now*=f[cur]; } } } int solve(int val,int ti){ int res=0; int tmp=val; cc=0; while(tmp>1){ int v=mi[tmp]; f[++cc]=v; cnt[cc]=0; while(tmp%v==0){ ++cnt[cc]; tmp/=v; } } gg=0; dfs(1,1); for(int i=1;i<=gg;++i) res+=ggg[d[i]]; return res; } int main() { #ifdef local freopen("in.txt","r",stdin); // freopen("out.txt","w",stdout); #endif ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0); init(); int T;cin>>T; for(int i=1;i<=T;++i){ int val;cin>>val; if(val&1)cout<<0<<"\n"; else cout<<solve(val,i)<<"\n"; } return 0; }
解法2：化式子
a*a+b*b = c*c
a+b+c = n
-> a+b+sqrt(a*a+b*b) = n
-> sqrt(a*a+b*b) = n-a-b
-> 两边平方并化简
-> n^2 - 2an = 2bn-2ab
-> b = (n^2-2an)/(2n-2a)
令f = n-a
则 b = n(2n-2a -n)/(2f) = n(2f - n)/(2f) = n- n^2/(2f)
则有2f | n^2
再看适用范围，有
0 < a < n/3
a < b (不会有等于，abc都是整数，a=b，c=sqrt(2)a × )
得到 n > f > 2n/3 -> 2n > 2f > 4n/3
n-f < n-n^2/(2f) -> 2f^2 > n^2 -> 2f > sqrt(2)n > 4n/3
所以 sqrt(2)n < 2t < 2n
当2t确定，a也确定了
所以在n^2的因子中找符合条件的数
#include<bits/stdc++.h> #define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) #define lowbit(x) (x&(-x)) #define lson (rt<<1) #define rson (rt<<1|1) using namespace std; typedef long long ll; typedef long long LL; typedef unsigned long long ull; typedef pair<ll,ll> pll; typedef pair<ll,int>pli; typedef pair<int,int> pii; const int inf = 0x3f3f3f3f; const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f; const int maxn = 1e7+50; const int mod = 1e9+7; int mi[maxn],use[maxn],ggg[maxn]; inline int gcd(int a,int b){ return b?gcd(b,a%b):a; } void init(int c=maxn-10){ int cc=0; for(int i=2; i<=c; ++i) { if(!mi[i])use[++cc]=i,mi[i]=i; int to=c/i; for(int j=1; j<=cc and use[j]<=to; ++j) { mi[use[j]*i]=use[j]; if(i%use[j]==0) break; } } // int u=sqrt(c); // for(int i=3;i<=u;i+=2){ // int to=min(i-1,(c-i*i)/i); // for(int j=1;j<=to;j+=2){ // if(gcd(i,j)==1){ // ++ggg[i*(i+j)]; // } // } // } } int f[520],cnt[520],cc; ll d[50000],gg; void dfs(int cur,ll now){ if(cur>cc){ d[++gg]=now; }else{ for(int i=0;i<=cnt[cur];++i){ dfs(cur+1,now); now*=f[cur]; } } } int solve(int val,int ti){ int res=0; int tmp=val; cc=0; while(tmp>1){ int v=mi[tmp]; f[++cc]=v; cnt[cc]=0; while(tmp%v==0){ ++cnt[cc]; tmp/=v; } cnt[cc]<<=1; } gg=0; dfs(1,1); int l=sqrt(2)*val,r=val<<1; for(int i=1;i<=gg;++i){ ll v=d[i]; if(v&1)continue; if(v>l and v<r)++res; } return res; } int main() { #ifdef local freopen("in.txt","r",stdin); // freopen("out.txt","w",stdout); #endif ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0); init(); int T;cin>>T; for(int i=1;i<=T;++i){ int val;cin>>val; if(val&1)cout<<0<<"\n"; else cout<<solve(val,i)<<"\n"; } return 0; }
发现两种解法的运行速度差不多。。。
