欧几里得，贝祖定理与扩展欧几里得

欧几里得：

又叫辗转相除法，用于计算两个数a，b的最大公约数

有公式 gcd（a，b）= gcd（b，a%b）

证明：

不妨设a>b（不然递归一次不就一样了吗）

a可以表示成a=k*b +r,   r=a%b

①假设d是a,b 的一个公约数，即 d|a, d|b

而r=a-k*b，r/d = a/d –k*b/d = m 可知m为整数，即d|r

因此d也是b, a%b的公约数

②假设d是b,a%b的公约数，则d|b，d| (a-k*b)

也有d|(a-k*b+k*b) -> d|a

即d也是a，b的公约数

因此(a,b)和(b,a%b)的公约数集相同，因此最大公约数也相同

 

int gcd(int a，int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

 

 

 

贝祖定理

若a，b是整数，则存在整数x，y使得ax+by=gcd(a,b)

且有gcd(a,b)是ax+by集合中的最小正整数（若a!=0 或 b!=0）

证明：

若a=b=0,则(a,b)=0,成立

不妨设a≠0, 考虑由a,b所有的线性组合组成的集合I:

       I = {ax+by : x,y∈Z }

I中必定存在正元素，设I∩(Z＋)=P，则P≠Ø

设P中得最小正整数为d

因为d∈I，所以d是a，b的一个线性组合：∃x，y∈Z

满足 d= ax+by

∃ q，r∈Z使得a=d*q+r ，0<=r<d

假设r>0,则 r=a-qd = a-q(ax+by)=(1-qx)a+(-qy)b ∈P

与d是P的最小元矛盾, 因此r=0 即d是a的因子

同理可得d是b的因子，因此d是a和b的公因子

若c是a和b的任意一个公因子，则设a=ca’, b=cb’

d=ax+by=c(xa’+yb’)，所以c|d ,所以|c|<=d

所以d=gcd(a,b)

且可以证明∀ X∈I, 有 d|X

当X=0，显然成立

当X!=0

反证： 若不满足d|X

则存在 X=g*d+r， 0<r<d ,r∈Z

a*x1+b*y1=d

a*g*x1+b*g*y1=g*d ①

a*x2+b*y2=X ②

②-①得 a*(x2-g*x1) + b*(y2-g*y2) = r

与d是最小正整数矛盾

因此∀ X∈I, 有 d|X

 

 

 

扩展欧几里得：

扩展欧几里得提供了一种求ax+by=gcd(a,b)得解(x,y)的方法

求解过程 
a*x1+b*y1=gcd(a, b); 
b*x2+gcd(a%b)*y2=gcd(b, a%b);

∵gcd(a, b)==gcd(b, a%b) 
∴a*x1+b*y1==b*x2+(a%b)*y2

∵对于a和b存在整数k使得a % b == a - k * b 
∴a%b可以拆成a-k*b，k==(a / b 向下取整)

∴a * x1 + b * y1 == b * x2 + ( a - k * b ) * y2 （ 把k==(a / b 向下取整)代入 ）
∴a * x1 + b * y1 == b * x2 + ( a - ( a / b ) * b ) * y2 
即a * x1 + b * y1 == b * x2 + a * y2 - b * ( a / b ) * y2 
所以有a * x1 + b * y1 == a * y2 + b * ( x2 - ( a / b ) * y2 ) 
观察上式可知 x1 = y2 , y1 = x2 - a / b * y2 

x1，y1是由x2，y2得来的 
x2，y2也可以由x3，y3得来的，进行递归，但递归需要终止状态：

 在辗转相除法求最大公约数的时候，我们的递归终止条件是一方为0，我们也可以参考一下，

先递归gcd(a , b)，当b==0时，此时a的值就是我们要的最大公约数，再根据扩展欧几里得定律a * x + b * y == gcd(a , b)，

将a = a，b = 0代入，可以求出x和y的值，此时x == 1，y == 0，在这里终止递归。

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int r = exgcd(b, a%b, x, y);
    int t = x; x = y; y = t - a/b*y;
    return r;
}