exgcd 解同余方程ax=b(%n)

ax=n(%b)  ->   ax+by=n

方程有解当且仅当 gcd(a,b) | n ( n是gcd(a,b)的倍数 )

exgcd解得 a*x0+b*y0=gcd(a,b)

记k=n/gcd(a,b)

则方程ax+ny=b的所有解为

x=k*x0 +  [ b/gcd(a,b) ]*t

y=k*y0 -  [ a/gcd(a,b) ]*t

 

a*x0+b*y0=gcd(a,b)  

->  (a*x0+b*y0)*n/gcd(a,b) = gcd(a,b)*n/gcd(a,b)

->  x=k*x0,y=k*y0是方程ax+by=n的基本解

->ax+by  + lcm(a,b)*t-lcm(a,b)*t = n   (lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b))

->a*[ x+[ b/gcd(a,b) ]*t  ] + b*[ y- [ a/gcd(a,b) ]*t  ] =n

n/gcd(a,n)∗t

 

x=k∗x0+n/gcd(a,n)∗ty=k∗y0–a/gcd(a,n)∗t(t=0,1,2，……)