欧拉定理和费马小定理的证明
转自博主 https://blog.csdn.net/qq_24451605/article/details/47045279
在看这篇博客之前推荐看一看我对于欧拉函数的递推公式的证明，方便理解。
————————————-欧拉定理的内容————————————————————————–
a和n互质，那么a^phi(n) == 1 ( mod n )
————————————欧拉定理的证明—————————————————————————
设xi为n当中与n互质的数，一共有phi(n)个：
1）设mi = a * xi , 则mi与n互质
因为a与n互质，mi也与n互质，所以说这个两个因数当中都没有与n相同的质因子，所以mi也不可能有，所以mi与n必然互质
2）因为mi与n互质，故mi不能被n整除
mi = p*n+q*r
若余数r与n不互质，那么d = gcd ( r , n )!=1 , mi = d*c(c代表一个正整数)，那么gcd ( mi , n ) != 1 , 与mi和n互质矛盾！
故mi%n == ri, ri 均与n互质
3)若mi == mj ( mod n ) （i!=j）
mi-mj==a*(xi-xj)(mod n ) == 0 ( mod n )
xi和xj均是小于n的正整数,故xi==xj时才能成立，则与i!=j矛盾
故mi%n的余数均不相同，因为mi的个数与n以内与n以内与n互质的数的个数相同，所以ri就是xi的一个不同的排列。
所以从1~n的mi的乘积与1~n的xi的乘积模n下同余，所以约掉相同的部分，a*a*a*a*……..(phi(n)个)==1(mod n ) ， 那么原式得证
———————————费马小定理的证明———————————————————————————
费马小定理其实就是欧拉定理在n是素数时的特例：
a^phi(n) == 1 ( mod n )
当n是素数时，phi(n) = n-1
那么a^(p-1)== 1 ( mod p )
