数论 —— 毕达哥拉斯三元组

【定义】

满足 $x^2+y^2=z^2$ 的 $(x,y,z)$ 三元组称为毕达哥拉斯三元组，当 $GCD(x,y,z)=1$ 时，称其为本原的。

毕达哥拉斯三元组，也称为勾股数。

【性质】

由 x、y、z 构成的三元组 (x,y,z) ，其中 y 为偶数，那么由他们构成的本原的毕达哥拉斯三元组

等价于：

存在互素的一奇一偶的正整数 m、n，且 m>n，有： $\left\{\begin{matrix}x=m^2-n^2 \\ y=2mn \\ z=m^2+n^2 \end{matrix}\right.$ ，并且可以看出，本原的毕达哥拉斯三元组中，最大的数一定是奇数。

特别地，由 $f_nf_{n+3},\:\:2f_{n+1}f_{n+2},\:\:f^2_{n+1}+f^2_{n+2}$ 构成毕达哥拉斯三元组，将 $f_n=f_{n+2}-f_{n+1},\:\:f_{n+3}+f_{n+1}$ 即得

【实现】

求解 n 以内本原的毕达哥拉斯三元组个数

根据 $\left\{\begin{matrix}x=m^2-n^2 \\ y=2mn \\ z=m^2+n^2 \end{matrix}\right.$ ，只要枚举一下 m、n（m,n<=sqrt(n)），然后将三元组乘以 i （保证 i*z 在范围内），即可求出所有的毕达哥拉斯三元组。

int x[N],y[N],z[N];
int pythagoras(int n){
    int num=0;//数组游标
    int res=0;//本原三元组的个数

    int m=sqrt(n*1.0);
    for(int i=1;i<=m;i+=2){//从1开始，每次+2，保证为奇数
        for(int j=2;j<=m;j+=2){//从2开始，每次+2，保证为偶数
            a=max(i,j);//大的为m
            b=min(i,j);//小的为n

            if(gcd(i,j)!=1)//要求m、n互质
                continue;

            x[num]=a*a-b*b;
            y[num]=2*a*b;
            z[num]=a*a+b*b;
            num++;

            if( (a*a+b*b)<=n )//保证在范围内
                res++;
        }
    }
    return res;
}