理论基础 —— 图

【图】

图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G=(V,E)，其中 V 是非空有限集合，代表顶点，E 是可以为空的有限集合，代表边。

若顶点 vi 和 vj 间的边没有方向，则称这条边为无向边，用无序偶对 (vi,vj) 表示；若顶点 vi 和 vj 间的边有方向，则称这条边为有向边（弧），用有序偶对 <vi,vj> 表示，其中 vi 称为弧头，vj 称为弧尾。

若图的任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图；若图的任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图。

【基本术语】

在一个图中，不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称图为简单图
在一个无向图中，对于任意两个顶点 vi 和顶点 vj，若存在边 (vi,vj)，则称顶点 vi 和顶点 vj 互为邻接点，同时称边 (vi,vj) 依附于顶点 vi 和顶点 vj
在一个有向图中，对于任意两个顶点 vi 和顶点 vj，若存在弧 <vi,vj>，则称顶点 vi 邻接到顶点 vj，顶点 vj 邻接自顶点 vi，同时称弧 <vi,vj> 依附于顶点 vi 和顶点 vj
在一个无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图，其有 n*(n-1)/2 条边
在一个有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则称该图为有向完全图，其有 n*(n-1) 条边。
一个边数接近完全图的图称为稠密图，一个边数远远少于完全图的图称为稀疏图
在无向图中，依附于顶点 v 的边数称为顶点的度，记为 TD(v)，在 n 个顶点 m 条边的无向图中，所有点的度的和为 2m
在有向图中，以顶点 v 为弧头的弧的数目称为顶点的入度，记为 ID(v)，在 n 个顶点 m 条边的有向图中，所有点的入度和为 m
在有向图中，以顶点 v 为弧尾的弧的数目称为顶点的出度，记为 OD(v)，在 n 个顶点 m 条边的有向图中，所有点的出度和为 m
对边赋予的有意义的数值量称为权（权值），边上带权的图，称为网（带权图），根据图是无向图或有向图，分为有向网图、无向网图
在无向图 G=(V,E) 中，对于一个满足 $(v_{ij-1},v_{ij})\in E(1\leqslant j\leqslant m)$ 的顶点序列 $\{v_p=v_{i_0},v_{i_1},v_{i_2},..., v_{i_m}=v_q\}$ ，称为从顶点 vp 到顶点 vq 之间的路径，若 G 是有向图，则 G 的路径是有方向的
在路径序列中，起点和终点相同的路径称为回路（环）
在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径
在路径序列中，除起点终点外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路
对于一个非带权图，路径上边的个数称为路径长度，对于一个带权图，路径上各边权的和称为路径长度
对于图 G=(V,E) 和 G'=(V',E')，若 $V'\subseteq V,E'\subseteq E$ ，则称 G' 为 G 的子图，一个图可以有多个子图
在无向图中，如果从一个顶点 vi 到另一个顶点 vj(i≠j) 有路径，则称顶点 vi 和 vj 是连通的，如果图中任意两个顶点都是连通的，则称该图是连通图
非连通图的极大连通子图称为连通分量，其中，极大是指包括所有连通的顶点及这些顶点相关联的所有边
在有向图中，对图中任意一对顶点 vi 和 vj(i≠j)，若从顶点 vi 到顶点 vj 和从顶点 vj 到顶点 vi 均有路径，则称该有向图是强连通图，非强连通图的极大强连通子图称为强连通分量
对于一个具有 n 个顶点的连通图 G ，包含 G 中全部顶点的一个极小连通子图称为生成树，其中，极小是指子图中只有一个入度为 0 的点且其他点的入度均为 1
在非连通图中，由每个连通分量都可以得到一棵生成树，这些连通分量的生成树就组成了一个非连通图的生成森林