基础算法 —— 调度问题 —— 流水调度问题

【概述】

流水调度问题的表达为：有n 个作业在两台机器 M1、M2 组成的流水线上进行加工，每个作业 i 都必须花费 ai 在 M1 上行加工，然后再花费 bi 在 M2 上加工，确定 n 个作业的加工顺序，使得 n 个作业完成加工的时间最短。

关于流水调度问题，可用 Johnson 法则来求最优调度方案，其时间复杂度为 O(nlogn)

算法描述为：设 N1 位 a<b 的作业集合，N2 为 a>=b 的作业集合，将 N1 的作业按 a 非减序排列，N2 中的作业按 b 非增序排列，则 N1 作业接 N2 作业构成最优顺序。

【问题分析】

求一个加工顺序使加工总时间最短，就是让机器空闲时间最短，一旦机器 M1 开工，那么 M1 会不停的进行作业没有空闲时间，而机器 M2 会有两种情况：机器空闲、作业积压，而且在第一个部件在机器 M1 开始加工时，机器 M2 必须等待，最后一个部件在机器 M2 加工时，机器 M1 也在等待机器 M2 的完工。

要使机器总空闲时间最短，就要将在机器 M1 上加工时间最短的部件先进行加工，这样使得机器 M2 在最短的时间内可以开工，再把机器 M2 上加工时间最短的部件最后加工，这样使得机器 M1 在最短的时间内等待机器 M2 完工。

根据 Johnson 法则，设：Mi=min{ai,bi}

将 M 按照从小到大的顺序排序，然后从第一个开始处理：

• 若 Mi=ai，则：将第 i 个部件放在其从头开始的加工的部件后面
• 若 Mi=bi，则：将第 i 个部件放在其从尾开始的加工的部件的前面

最后得到的序列即为最优加工顺序。

例如：n=5，(a1,a2,a3,a4,a5)=(3,5,8,7,10)，(b1,b2,b3,b4,b5)=(6,2,1,4,9)

则 M=(m1,m2,m3,m4,m5)=(3,2,1,4,9)

将 M 进行排序，有：(m3,m2,m1,m4,m5)，然后进行处理

• 处理 m3：由于 m3=b3，因此 m3 放在后面，加工顺序为：(  ,  ,  ,  ,3)
• 处理 m2：由于 m2=b2，因此 m2 放在后面，加工顺序为：(  ,  ,  ,2,3)
• 处理 m1：由于 m1=a1，因此 m1 放在前面，加工顺序为：(1,  ,  ,2,3)
• 处理 m4：由于 m4=b4，因此 m4 放在后面，加工顺序为：(1,  ,4,2,3)
• 处理 m5：由于 m5=b5，因此 m5 放在后面，加工顺序为：(1,5,4,2,3)

因此，最优的加工顺序就是 (1,5,4,2,3)，最短时间为 34

【实现】

struct Node{
    int num;
    int id;
    bool operator < (const Node &rhs)const{
        return num<rhs.num;
    }
}m[N];
int a[N],b[N];
int res[N];
int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&b[i]);

    //记录m
    for(int i=1;i<=n;i++){
        m[i].num=min(a[i],b[i]);
        m[i].id=i;
    }

    //对m进行排序
    sort(m+1,m+1+n);

    //对m进行处理
    int head=0,tail=n+1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int num=m[i].num;
        int id=m[i].id;
        if(num==a[id])
            res[++head]=id;
        else
            res[--tail]=id;
    }
 
    //计算最优时间
    int timeA=0,timeB=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        timeA+=a[res[i]];
        if(timeB<timeA)
            timeB=timeA;
        timeB+=b[res[i]];
    }
 
    printf("%d\n",timeB);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%d ",res[i]);
    printf("\n");
    return 0;
}