线性结构 —— 分块算法

【概述】

所谓分块，即对于一个长度为 n 的序列，设块的大小为 S，从序列的第一个元素起，每 S 个元素被分成一块，若剩余的元素不足 S 个，令他们组成一块。经过分块后的数组，称为块状数组，在块状数组的基础上加以扩展，即可得到块状链表。

在一个区间操作时，完整包含于区间的块称为整块，只有部分包含于区间的块，称为不完整的块，不完整的块实质上行即为区间左右端点所在的两个块。

在许多区间问题中，使用树型结构，如：树状数组、线段树等会更加优秀，但当所需的某些信息无法快速合并时，就只能使用分块，例如：询问一个区间的众数

需要注意的是，利用来解决的问题，大部分都是要求强制在线的，此外，在时间复杂度上：树状数组 > 线段树 > 块状数组(分块)

但三者各有优劣：

树状数组：代码简单、常数小
线段树：代码复杂、功能强大、常数大
块状数组：代码复杂、常数大、能维护一些难以快速合并的数据

【基本原理】

从时间复杂度来考虑，一般来说，分块长度为 sqrt(n)，那么，初始化时有：

int block,sum;//block为块的长度,sum为块的个数
int a[N];//存放数列元素
int pos[N],tag[N];//pos记录第i个元素在第几个块中,tag为操作标记
int ans[N];//维护整块和
void init(){//初始化
    block=(int)sqrt(n) //块的长度
    sum=n/block;//块数
    if(n%block)
        sum++;
    for(int i=1;i<=n;i++)//第i个元素在第几块中
        pos[i]=(i-1)/block+1;
}

对于区间查询，有三种情况：

询问区间 [x,y] 中，x 不是块的左边界，y 也不是块的右边界
询问区间 [x,y] 中，x 不是块的左边界，y 是块的右边界
询问区间 [x,y] 中，x 是块的左边界，y 不是块的右边界

由于可以预处理每一块的值，因此对于一块来说，查询的时间复杂度是 O(1) 的，对于多出来的边角料的部分总和不会超过 2*sqrt(n)，基于这个时间复杂度，进行暴力求解，可以发现对于第一种情况，q 次查询的复杂度为 O(q*sqrt(n))，对于第二、三中情况，完全可以当成情况 1 来处理

对于一个块的左边界，可以求出上一个块的右边界 (pos[x]-1)*block，那么 +1 后就是这个块的左边界，即：(pos[x]-1)*block+1

因此，在每次询问时，第 i 个元素 a[i] 处于第 (i-1)/sqrt(n)+1 块，其左端点为 (i-1)*sqrt(n)+1，右端点为 min(i*sqrt(n),n)，返回元素的值再加上其所在块的标记即可。

int block,sum;//block为块的长度,sum为块的个数
int a[N];//存放数列元素
int pos[N],tag[N];//pos记录第i个元素在第几个块中,tag为操作标记
int ans[N];//维护整块和
int query(int L,int R){
    for(int i=L;i<=min(R,pos[L]*block);i++)//处理左边角料
        //do something

    for(int i=(pos[R]-1)*block+1;i<=R;i++)//处理右边角料
        //do something

    for(int i=pos[L]+1;i<=pos[R]-1;i++)//处理中间k块
        //do something
}

对于修改操作，与查询操作一样，同样分成三部分，对于边角料暴力修改 a[i]，对于每一块，修改每一块的标记值 tag[pos[i]]，那么，对于 m 次修改，总时间复杂度为 O(m*sqrt(n))

int block,sum;//block为块的长度,sum为块的个数
int a[N];//存放数列元素
int pos[N],tag[N];//pos记录第i个元素在第几个块中,tag为操作标记
void change(int x){
    //do something
}
void update(int L,int R,int x){
    for(int i=L;i<=min(R,pos[L]*block);i++)//处理左边角料,对a[i]进行操作
        change(x);

    if(pos[L]!=pos[R])//存在右区间才遍历，防止重复计算
        for(int i=(pos[R]-1)*block+1;i<=R;i++)//处理右边角料,对a[i]进行操作
            change(x);

    for(int i=pos[L]+1;i<=pos[R]-1;i++)//处理中间k块,对tag[i]进行操作
        change(x);
}

而对于整块的预处理，即使每个块暴力进行对 ans[i] 的预处理，时间复杂度也只有 O(n)

int ans[N];//维护整块
void work(int L,int R,int x){
    int start=0;
    for(int i=L;i<=R;i++)
        //do something with start
    ans[x]=start;//整块的标记
}

int mian(){

    ...

    for(int i=1;i<=sum;i++)//传入块的左右边界与编号
        work((i-1)*block+1,i*block,i);
    
    ...
    
}