线性代数 —— 矩阵的行列式
1.行列式
排成 n 阶方阵形式的 n^2 个数所确定的一个数称为 n 阶方阵 A 的行列式,记为:det(A) 或 |A|
一个 2x2 的矩阵的行列式可表示为:
2.余子式与代数余子式
将 n 阶行列式中元素 的第 i 行和第 j 列划去后,留下的 n-1 阶行列式称为
的余子式 ,记作:
将 的余子式与 -1 的 i+j 的幂的乘积称为代数余子式,记作:
一个 n 阶方阵的行列式等于任意行/列的元素与对应的代数余子式乘积之和,即:
4.主子式与顺序主子式
在 n 阶行列式中,选取 k 个行号,再选取与行号相同的 k 个列号,则有行列均为 k 个的行列式即为 n 阶行列式的 k 阶主子式,简单来说,即在 n 阶行列式中,选取的 k 个行列号相同的行、列的交汇处的元素组成的行列式
在 k 阶行列式中,由 1~k 行和 1~k 列组成的子式,即为 n 阶行列式的 k 阶顺序主子式
5.行列式的性质
- 互换矩阵的两行(列),行列式变号
- 如果矩阵有两行(列)完全相同,则行列式为 0
- 如果矩阵的某一行(列)中的所有元素都乘以同一个数 k,新行列式的值等于原行列式的值乘上数 k
推论:如果矩阵的某一行(列)中的所有元素都有一个公因子 k,则可以把这个公因子 k 提到行列式求和式的外面 - 如果矩阵有两行(列)成比例(比例系数k),则行列式的值为 0
- 如果把矩阵的某一行(列)加上另一行(列)的 k 倍,则行列式的值不变
6.主子式的值
对于一个主子式的值,可以根据其定义算出:
其中 P 为 1~n 的一个排列,τ(P) 为排列 P 的逆序对数,求和式的每一项可以看做在矩阵中选出 n 个数,使得他们的行列都不重合,显然,求和式共 n!项,根据定义求值的时间复杂度是 O(n!) 阶的,因此必须根据行列式的性质进行优化。
由于对于任意一个上(下)三角矩阵,其行列式的值为对角线的乘积。
因此可根据性质 5,可采用高斯消元的方法,将矩阵消为一个上三角矩阵后,求出对角线的积,即为该矩阵的行列式的值,时间复杂度为 O(n^3)
如果要求的矩阵不允许出现实数,且需要取模,那么采用辗转相除的高斯消元法,时间复杂度多出一个 O(logN)
int f[N][N];//n阶矩阵
int gauss(int n){//主子式的值
int res=1;
for(int i=1;i<=n-1;i++){//枚举主对角线上第i个元素
for(j=i+1;j<=n-1;j++){//枚举剩下的行
while(f[j][i]){//辗转相除
t= f[i][i]/f[j][i];
for(int k=i;k<=n-1;k++)//转为倒三角
f[i][k]=(f[i][k]-t*f[j][k]+MOD)%MOD;
swap(f[i],f[j]);//交换i、j两行
res=-res;
}
}
res=(res*f[i][i])%MOD;
}
return (res+MOD)%MOD;
}
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