数论 —— 线性同余方程组与中国剩余定理

【线性同余方程组】

由若干个线性同余方程构成的线性方程组。

例如：

其解法最早由我国《孙子算经》给出，因此解法称为“孙子定理”，又叫“中国剩余定理”，实质即为求多个数的最小公倍数。

【中国剩余定理】

1.内容

设自然数  两两互质，并记 ，则同余方程组： 在模 N 同余的意义下，有唯一解：。

2.证明

考虑方程组：，

由于  两两互质，对方程组作变量替换，即令 

故方程组等价于解同余方程：

若想得到特解 

只要令  即可

故方程组的解为：，在模 N 下值唯一。

3.应用

中国剩余定理就是用来求线性同余方程组的，即对方程组：，在 W、B 的值已知，且 W[i]>0，W[i] 与 W[j] 互质，求 a 的值。

4.实现

#include<iostream>
using namespace std;
int Extended_GCD(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
 
    int gcd=Extended_GCD(b,a%b,y,x);
    y=y-a/b*x;
    return gcd;
}
int China(int W[],int B[],int k){//W除数，B余数
    int mod=1;
    for(int i=0;i<k;i++)//计算mod的大小
        mod*=W[i];

    int res=0;
    int x,y,m;
    for(int i=0;i<k;i++){
        m=mod/W[i];
        Extended_GCD(W[i],m,x,y);//求出每一组W[i]与m的解
        res=(res+y*B[i]*mod/W[i]+mod)%mod;//累加所有解
    }
    return (res+mod)%mod;
}

【不互素的中国剩余定理】

对于不互素的中国剩余定理， 即：a[1]，a[2]，.....，a[n]，不互素的情况，只能每两个一组的求解，有：

设：k1、k2 ，易得：

即：

对整个式子进行 a2 取余，得：

此时式子只有一个未知量 k1，使用扩展欧几里得定理可求出 k1，从而计算出：

这个 x 仅是满足  的一个特解，不一定是  的解，因此要想求出式子真正的解，需要取 x 对 a1、a2 最小公倍数的模

即：

由于只有 ans 是未知数，因此就将两个式子转换为一个式子，通过这样不断的合并，可以求出最终的结果。

判断是否有解，在扩展欧几里得中求 k1 时判断即可。

int Extended_GCD(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }

    LL gcd=Extended_GCD(b,a%b,y,x);
    y=y-a/b*x;
    return gcd;
}
int GCD(int a,int b){
    return b==0?a:GCD(b,a%b);
}
int CRT(int W[],int B[],int n)//w为除数，b为余数，n为有多少式子
{
    int res=B[0],Wi=W[0];
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int bi=B[i],wi=W[i];
        int x,y;
        int gcd=Extended_GCD(Wi,wi,x,y);
        int c=bi-res;

        if(c%gcd!=0)//表示没有结果
            return -1;

        int M=wi/gcd;
        res+=Wi*( ((c/gcd*x)%M+M) % M);
        Wi*=M;
    }
    if(res==0)//除数全为0
    {
        res=1;
        for(int i=0;i<n;i++)
            res=res*W[i]/GCD(res,(LL)W[i]);
    }
    return res;
}
int a[N],b[N];
int main(){
    int k;
    while(scanf("%d",&k)!=EOF&&k){
        for(LL i=0;i<k;i++)
            scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);//先除数后余数
        printf("%d\n",CRT(a,b,k));
    }
    return 0;
}

【例题】

• Biorhythms（POJ-1006）(中国剩余定理)：点击这里
• Monkey Tradition（LightOJ-1319）(中国剩余定理)：点击这里
• Strange Way to Express Integers（POJ-2891）(不互素的中国剩余定理)：点击这里