图论 —— 网络流 —— 基本概念与建模技巧
【基本概念】
1.网络流
给定一个有向图 G=(V,E),在这个图中:
- 有唯一的一个源点 S(入度为 0,出发点)
- 有唯一的一个汇点 T(出度为 0,结束点)
- 图中的每条弧(u,v)都有一非负容量 c(u,v)
此时称图 G 为网络流图(容量网络),记为:G=(V,E,c)
简单来说,图就是一种管道,管道有最大通过流量的限制,图中的边权就是容量
2.可行流
对于一个网络流图 G=(V,E,c),每条弧(u,v)上给定一个实数 f(u,v),满足:0<=f(u,v)<=c(u,v),则称 f(u,v) 为 c(u,v) 上的流量。
若有一组流量满足:
- 源点 S 的流出量 = 整个网络的流量
- 汇点 T 的流出量 = 整个网络的流量
- 中间点的总流量 = 总流出量
那么整个网络的流量称为一个可行流(流量网络)。
此时要注意容量与流量的区别,即要注意 f(u,v) 的范围:0<=f(u,v)<=c(u,v),不会出现流量大于容量的情况,也不会出现负流量的情况。
3.最大流
最大流即在所有的可行流中,流量最大的一个流量。
要注意的是,最大流可能不止一个。
在最大流问题中,任意时刻容量 c 与流量 f 满足三个性质:
- 容量限制:f(u,v) ≤ c(u,v)
- 斜对称性:f(u,v) = -f(v,u),即从 u 到 v 的流量一定是从 v 到 u 的流量的反值。
- 流量守恒:对除 S、T 外的任意结点 u,
,即:u 到相邻节点的流量之和为 0,因为流入 u 的流量和流出 u 的流量相等,u 点本身不会制造、消耗流量。
4.弧与链
1)弧的划分:在容量网络 G(V, E) 中, 设有一可行流 f={f(u,v)},根据每条弧上流量的多少、流量和容量的关系,可将弧分四种类型:
- 饱和弧:f(u,v)=c(u,v)
- 非饱和弧:f(u,v)<c(u,v)
- 零流弧:f(u,v)=0
- 非零流弧:f(u,v)>0
2)链:在容量网络中,称顶点序列 (u,u1,u2,…,un,v) 为一条链,要求相邻两个顶点之间有一条弧,如:<u, u1> 或 <u1, u> 为容量网络中一条弧。沿着 Vs 到 Vt 的一条链, 各弧可分为两类:
- 前向弧:方向与链的正方向一致的弧,其集合记为:P+
- 后向弧:方向与链的正方向相反的弧,其集合记为:P-
5.残留容量与残留网络
1)残留容量:给定容量网络 G(V, E) 及可行流 f,弧 <u,v> 上的残留容量记为 c′(u,v) = c(u,v) – f(u,v)。
每条弧的残留容量表示该弧上可以增加的流量,由于从顶点 u 到顶点 v 流量的减少,等效于顶点 v 到顶点 u 流量增加,因此每条弧 <u,v> 上还有一个反方向的残留容量 c′(v,u) = -f(u,v)
简单来说,一个容量网络中还可以压入的流量,即每条边上的容量与流量的差称为残留容量。
2)残留网络:给定容量网络 G(V, E) 及其上的网络流 f,G 关于 f 的残留网络记为 G'(V', E'),其中 G’ 的顶点集 V’ 和 G 的顶点集 V 相同,即 V’ = V,对于 G 中的任何一条弧 <u, v>,如果 f(u,v) < c(u,v),那么在 G’ 中有一条弧 <u,v>∈E',其容量为 c′(u,v) = c(u,v) – f(u,v),如果 f(u,v)>0,则在 G’ 中有一条弧 <v, u>∈E',其容量为 c′(v,u) = f(u,v)
简单来说,由残留的容量以及源点汇点构成的网络就是残留网络。
6.增广路径
在一网络中,若存在从 S 到 T 的一条简单路径,且边 (u,v) 的方向与该路径方向一致,则称 (u,v) 为正向边,否则称为逆向边。
若路径上的所有边都满足:
- 所有的正向边:f(u,v) < c(u,v)
- 所有的逆向边:f(u,v) > 0
则称该路径为一条增广路径(可增加流量)。
简单来说,增广路径,就是找到一条流量不满,未达到容量上限的一条路径,因此所有的增广路在一起便构成了残留网络。
7.割与净流量
1)割:是一种点的划分方式,对于一个网络流图 G=(V,E),设 E' ⊆ E,若将 E' 在 G 中删除后,使得图 G 不在连通,则称 E' 是图 G 的割。割将所有的点划分为 S 和 T=V-S 两部分,记作:(S,T)
2)s-t 割:如果割所划分的两个子集使得源点 s∈
S,汇点 t∈
T,则该割称为 s-t 割,其中弧<u,v>|u∈
S,v∈
T 称为割的前向弧,弧 <u,v>| u∈
T,v∈
S 称为割的反向弧。
2)割的容量:所有前向弧的容量和,即起点在 S 终点在 T 中的所有边的容量和,记作:c(S,T) = Σc(u,v) | u∈S,v∈T
3)最小割:容量网络的最小割即容量最小的割。
4)净流量:对于一个割 (S,T),用净流量来表示穿过割 (S,T) 的流量之和,即:|f| = f(S,T) = Σf(u,v) | u∈S,v∈T
8.层次网络
层次网络,就是将原图中的点按照点到源的距离进行分层,只保留不同层之间的边的图。
构建层次网络,简单的说,就是求出每个点 u 的层次,u 的层次是从源点到该点的最短路径(这个最短路是指弧的权都为 1 的情况下的最短路),若与源点不连通,层次置为 -1
要注意的是,当网络流进行分层后,弧可能有三种情况:
- 1) 从第 i 层指向第 i+1 层
2) 从第 i 层指向第 i 层
3) 从第 i 层指向第 j 层顶点,j<i - 不存在从第 i 层指向第 i+k 层的弧,k>=2
- 并非所有的网络都能分层
【常用定理】
1.网络流流量与割的净流量之间的关系:在一个容量网络 G(V, E) 中,设其任意一个流为 f,关于 f 的任意一个割为 (S,T),则有 f(S,T)=|f|,即:网络流的流量等于任何割的净流量
2.网络流流量与割的容量之间的关系:在一个容量网络 G(V, E) 中,设其任意一个流为 f,任意一个割为 (S, T),则有 f(S,T) ≤ c(S,T),即:网络流的流量小于或等于任何割的容量
3.残留网络与原网络的关系:设 f 是容量网络 G(V, E) 的可行流,f’ 是残留网络 G’ 的可行流,则 f + f’ 仍是容量网络 G 的一个可行流,其中 f + f’ 表示对应弧上的流量相加
4.最小割最大流定理:网络的最大流的流量等于最小割的容量
5.增广路定理:网络达到最大流当且仅当残留网络中没有增广路
6.几个等价命题:对于一个网络流图 G=(V,E),其有源点 s 和汇点 t,那么下面三个条件是等价:
- 流 f 是图 G 的最大流
- 残留网络 G' 中不存在增广路
- 对于 G 的某一个割 (S,T),有 f = C(S,T)
【模型建立与模型变换】
1.多源多汇问题
问题:源有多个,汇有多个,流可以从任意一个源流出,最终可以流向任意一个汇,总流量等于所有源流出的总流量,也等于所有汇流入的总流量。
解决:加一超级源点 S、超级汇点 T,然后从 S 向每个源引入一条有向弧,每个汇点向 T 引出一条有向弧,容量均为无穷大。
2.结点容量
问题:每个点都有一个允许通过的最大流量,称为结点容量。
解决:将每个原始结点 u 分成 u1、u2 两个结点(一般将编号改为:u1=u、u2=u+n),中间连一有向弧,令弧的容量等于 u 的结点容量。原先到达 u 的弧改成到达 u1,原先从 u 出发的弧改为从 u2 出发。
3.无源无汇有容量下界网络的可行流
问题:无源无汇且每条弧除有容量上界 c 外,还有一个容量下界 b(原始最大流问题中的容量下界为 0,故零流即是可行流)
解决:由于无源无汇,因此所有结点都满足 "入流=出流 " 这个平衡条件。
可以建立附加源 S 与附加汇 T,然后对弧 u->v 进行改造,即添加弧 u-T> 与弧 S->v 设容量为无穷大,并将每条下界为 b 弧拆为 3 条,再进行合并,最后求改造后的网络的 S-T 最大流即可。
要注意的是,当且仅当所有附加弧满载时,原网络有可行流。
4.有容量下界网络的 S-T 最大/小流
问题:容量同时有上下界,且源点 S 和汇点 T 各有一个,求 S->T 的最大流与最小流
解决:可先用 " 无源无汇有容量下界网络的可行流 " 的方法求出可行流,然后用传统的 S-T 增广路算法得到最大流,然后将 T 看做源点,S 看作汇点,并令反向弧的容量等于原来的容量下界,最后再运行增广路算法求出 T-S 最大流即为 S-T 最小流
要注意的是,若没有下界,最小流就是零流,即原来每条弧 u->v 的反向弧容量为 0,没有什么好求的。
5.费用与流量平方成正比的最小流
问题:容量 c 均为整数,且每条弧有一个费用系数 a,表示该弧流量为 x 时费用为 ax^2,求最小费用最大流
解决:使用拆边法,如下图所示,将费用系数为 a 容量为 5 的边进行拆分,拆成 5 条容量为 1 费用各异的弧
由于求的是最小费用流,如果这条弧的流量为 1,则走的肯定是 cost=1 的弧;如果流量为 2,则走的肯定是 cost=1 与 cost=3 的弧;如果流量为 3,则走的是 cost=1、cost=3、cost=5 的三条弧。可以验证,无论流量是 1~5 的哪一个,左右两个图都是等价的,这样问题就转为普通的最小费用最大流问题。
要注意的是,由于有重边,普通的邻接矩阵无法满足,因此要么使用邻接表实现,要么将邻接矩阵加一维,表示某两点间的第几条弧。
6.流量不固定的 S-T 最小费用流
问题:如果网络中的费用有正有负,且流量不固定,求最小费用流。
解决:如果费用都是正的,那么显然最小费用流就是零流。由于费用存在负值,那么最短增广路的权值就是负的,这样增广后可能得到更小的费用。
最小费用类似一下凸函数,费用随着流量增大先减小,再增大,由于三分的效率较低,因此可随着增广的进行,当增广路的权值逐渐增大最后变为正数时,停止增广。
【建模技巧】
网络流的问题难点在于模型的建立。建立模型时,一般根据题意建立一个最直观的模型,然后再用合并边、合并点、拆点等思想去简化模型,最后得出一个有效的模型。
当要求删边后再进行询问最大、最小值时,问题可以转化为求最小割
当询问是否存在不相交路径时,一般可采用最大流来解决,其核心是用拆点来使得每个点只能走一次,若路径带权,那么问题可转化为求最小费用最大流
合并边、合并点的常见规律有:
- 若几个结点的流量的来源完全相同,则可以把它们合并成一个
- 若几个结点的流量的去向完全相同,则可以把它们合并成一个
- 若从点 u 到点v有一条容量为 ∞ 的边,并且点 v 除了点 u 以外没有别的流量来源,则可以把这两个结点合并成一个