希尔排序的简单实现

希尔排序

希尔排序(Shell Sort)是插入排序的一种。也称缩小增量排序，是直接插入排序算法的一种更高效的改进版本。希尔排序是非稳定排序算法。该方法因DL．Shell于1959年提出而得名。

既然是插入排序的改进版本，我们就先来看一看插入排序。

插入排序的原理就和打牌时我们抓牌一样，每次摸到一张新的牌，我们都会将它插入到已经有序的牌序中，使之仍然有序。例如 我们 依次抽到 4 2 9 J 10  8 ,那么我们的牌序依次为 4 ，  2 4 ， 2 4 9 ， 2 4 9 J ， 2 4 8 9 10 J，

抽到10 为例，我们从后往前比较， 10 和 J 比较，10 比 J小， 所以 J 往后挪一个位置，然后 9 和10 比， 10 更大，说明找到了应在的位置，插入。

抽到最后的8 ， 我们从后往前比较， 8 < J  ,J往后挪,  8 < 10 , 10 往后挪， 8<9 ,9往后挪 ， 8 >4，找到位置插入。

插入排序就是模拟了上述比较的过程。

可以看出，如果每次摸到一张新的牌，如果手中已有的最后一张牌比 刚摸得牌小，那么就不用继续比较了，这正好对应了插入排序的内层循环。

对应的先来看一下插入排序的源码

void Insertion_Sort(ElemType *A,int n){
	for(int i = 1;i<n;i++){
		ElemType tmp = A[i];
		int j;
		for( j=i; j > 0 && A[j-1] > tmp ;j--) //① //当前序列的最后 往前与tmp比较
			A[j] = A[j-1]; //遇到逆序就交换
		A[j] = tmp; 
	}
}

我们知道插入排序的平均时间复杂度为O（n^2）, 最佳时间复杂度为O（n），其效率的差异其实 就在内层循环①的执行次数上。可见如果初始序列有序或者说基本有序，那么插入排序的效率就非常高了，最佳就是O（n）。

但是插入排序每次只能交换相邻的一对元素，也就是说每次只能消除一个逆序对，而对于N个数，科学的研究表明：其逆序对的数目大致在 n(n-1) /4个，所以平均效率不可能超过O（n^2）.

于是乎聪明的科学家们想到如果不交换相邻的元素那？ 而是去交换相隔比较远的元素那？那么我们每次交换消除的逆序对就不止一个了！

希尔排序就是利用了这样的性质。

希尔排序设置了一个增量，每次通过缩小增量序列进行插入排序。

这个增量就是交换元素的间隔。

如上图

增量为5，也就是说5间隔的有 81 35 41 ， 我们将这个子序列执行插入排序，变成 35 41 81 ，还有 94 17 75 变成了 17 75 94 ， 11 95 15 变成了 11 15 96，

然后3间隔的进行排序，3间隔的排完序之后可以看出序列已经基本有序了，然后再将增量缩小为1，执行一次基本的插入排序，算法完成。

源代码

void shellSort(ElemType *a,int n){
	for(int d = n/2;d>0;d/=2){ //希尔排序最初的增量分割
		for(int i=d;i<n;i++){
			ElemType tmp = a[i];
			int j;
			for(j=i;j>=d && a[j-d] >tmp;j-=d)
				a[j] = a[j-d];
			a[j] = tmp;
		}
	}
}

对比插入排序，和希尔排序，可以看出希尔排序只是多了一层for循环，用来控制增量，而里面两层就是最基本的插入排序，只是将交换的位置 由 a[ j ] a [ j - 1 ] 变成了 a[ j ] a[ j - d ],

d就是当前的增量。

增量的选取

当然对增量的选取是十分重要的，上述代码是希尔最初的增量分割，每次将增量缩小一半，也就是（增量序列:1,2,4,8,16...）但是当遇到下面这种情况，时间复杂度就O（n^2）了。

显然，对于增量的选取只要最后一次增量变为1，那么一定可以使得序列有序。

已知的最好增量序列是由Sedgewick提出的(1, 5, 19, 41, 109,...)，该序列的项来自

这两个公式算出。

感兴趣的同学自行实现或者问度娘吧。