多重背包问题

一、典型题目

n种物品，每种有有限个。（因此称为多重背包问题——对应着每个物体最多可以有0到 $S_{i}$ 个选择）

第 i 种物品的体积为 $V_{i}$ $，重量为$ $W_{i}$ ，最多有 $S_{i}$ 件。

背包容量为 V 。

选物品装到背包，使得背包内的物品在总体积不超过C的前提下重量尽量大。

假设（后续表格展示的前提假设亦是如此）：

背包容量max=4；

物品1--重量1 价值 15 数量 2；

物品2--重量3 价值 20 数量 3；

物品3--重量4 价值 30 数量 2；

二、转化为0-1背包的尝试

背包容量max=4；

物品1--重量1 价值 15 数量 2；

物品2--重量3 价值 20 数量 3；

物品3--重量4 价值 30 数量 2；

可以看成是

背包容量max=4；

物品1--重量1 价值 15 数量 1；

物品1--重量1 价值 15 数量 1；

物品2--重量3 价值 20 数量 1；

物品2--重量3 价值 20 数量 1；

物品2--重量3 价值 20 数量 1；

物品3--重量4 价值 30 数量 1；

物品3--重量4 价值 30 数量 1；

拆开所需要的代码以及0-1背包的代码:

int a[10005],b[10005],dp[10005]={ };
int t=0,n,m,w,v,s;

int main()
{
    cin>>n>>m;
    while(n--)
    {
        cin>>v>>w>>s;
        while(s--)
        {
            a[++t]=v;
            b[t]=w;
        }	//把多重背包拆成0-1背包
    }
    
    for(int i=1;i<=t;i++)
        for(int j=m;j>=a[i];j--)
        	dp[j]=max(dp[j-a[i]]+b[i],dp[j]);	//0-1背包
    
    cout<<dp[m]<<endl;
    
    return 0;
}

或者 0-1背包里面再加一个循环遍历一个每种商品的数量:

int dp[1005],n,t,v,w,s;
int main()
{
    cin>>n>>t;
    while(n--)
    {
        cin>>w>>v>>s;
        while(s--) //将背包"拆开"成0-1背包
            for(int j=t;j>=w;j--)
            	dp[j]=max(dp[j],dp[j-w]+v);
    }
    
    cout<<dp[t];
    
    return 0;
}

三、二进制优化

我们转化为0-1背包后，问题确实可以得到解决，但是，我们去把每一个物品都需要考虑选或者不选，那所耗费的时间真的是太多了。

据此，我们就应该去寻找一种策略，减小考虑的时间的同时又能充分考虑到所有的情况

——于是，我们可以尝试着对数据进行拆解和拼装

——比如10=1+2+4+3，10=8+2或者其他分法使得考虑的时间由一个一个的变成一堆一堆的（这时候考虑的对象也从个转变成了堆）

——但是我们想要这几堆选出来的结果可以涵盖所有的可能（“充分考虑所有情况”），这就要求我们分堆的标准必须满足：对于任意一个实数，所分得堆总会有一种堆的组合可以凑出这个实数

——很显然这个标准的要求，二进制是可以很好的满足的

——因此我们开始据此考虑二进制优化

————我们对于不同类的物品都进行二进制分堆的操作

————对于每一类：我们按照二进制的分法分出来（10=1+2+4+3——10= $2^{0}$ + $2^{1}$ + $2^{2}$ +(10-7))

————然后我们把这些类所分成的堆“平铺”在一维数组上（此过程需要统计每一堆的体积与价值）

————————比如物品1：10 物品2：7 物品3：6 —> 1 2 4 3 || 1 2 4 || 1 2 3

————这时候就完成了转化为0-1背包的操作，将考虑的对象由个变成了堆

int n, m;
int v[N], w[N]; //逐一枚举最大是N*logS
int f[M]; // 体积<M

int main()
{
    cin >> n >> m;
    int cnt = 0; //分组的组别
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int a,b,s;
        cin >> a >> b >> s;
        int k = 1; // 组别里面的个数
        while(k<=s)
        {
            cnt ++ ; //组别先增加
            v[cnt] = a * k ; //整体体积
            w[cnt] = b * k; // 整体价值
            s -= k; // s要减小
            k *= 2; // 组别里的个数增加
        }
        //剩余的一组
        if(s>0)
        {
            cnt ++ ;
            v[cnt] = a*s; 
            w[cnt] = b*s;
        }
    }

    n = cnt ; //枚举次数由个数变成组数

    //0-1背包
    for(int i = 1;i <= n ;i ++)
        for(int j = m ;j >= v[i];j --)
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]] + w[i]);

    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}