拓扑排序
一、概述
对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序,是将G中全部顶点排成一个线性序列,使得图中随意一对顶点u和v,若<u,v> ∈E(G),则u在线性序列中出如今v之前。
通常,这种线性序列称为满足拓扑次序(TopoiSicai Order)的序列,简称拓扑序列。
注意:
①若将图中顶点按拓扑次序排成一行,则图中全部的有向边均是从左指向右的。
②若图中存在有向环,则不可能使顶点满足拓扑次序。
③一个DAG的拓扑序列通常表示某种方案切实可行。
【例】一本书的作者将书本中的各章节学习作为顶点,各章节的先学后修关系作为边,构成一个有向图。按有向图的拓扑次序安排章节,才干保证读者在学习某章节时,其预备知识已在前面的章节里介绍过。
④一个DAG可能有多个拓扑序列。
【例】对图G9进行拓扑排序,至少可得到例如以下的两个(实际远不止两个)拓扑序列:C0,C1,C2,C4,C3,C5,C7,C8,C6和C0,C7,C9,C1,C4,C2,C3,C6,C5。
⑤当有向图中存在有向环时,拓扑序列不存在
二、无前趋的顶点优先的拓扑排序方法
该方法的每一步总是输出当前无前趋(即人度为零)的顶点,其抽象算法可描写叙述为:
NonPreFirstTopSort(G){//优先输出无前趋的顶点
while(G中有入度为0的顶点)
do{
从G中选择一个人度为0的顶点v且输出之;
从G中删去v及其全部出边;
}
if(输出的顶点数目<|V(G)|)
//若此条件不成立,则表示全部顶点均已输出,排序成功。
Error("G中存在有向环,排序失败!");
}
注意:
无前趋的顶点优先的拓扑排序算法在详细存储结构下,为便于考察每一个顶点的人度,可保存各顶点当前的人度。为避免每次选入度为0的顶点时扫描整个存储空间,可设一个栈或队列暂存全部入度为零的顶点:
在開始排序前,扫描相应的存储空间,将人度为零的顶点均入栈(队)。以后每次选人度为零的顶点时,仅仅需做出栈(队)操作就可以。
三、无后继的顶点优先拓扑排序方法
1、思想方法
该方法的每一步均是输出当前无后继(即出度为0)的顶点。对于一个DAG,按此方法输出的序列是逆拓扑次序。因此设置一个栈(或向量)T来保存输出的顶点序列,就可以得到拓扑序列。若T是栈,则每当输出顶点时,仅仅需做入栈操作,排序完毕时将栈中顶点依次出栈就可以得拓扑序列。若T是向量,则将输出的顶点从T[n-1]開始依次从后往前存放,就可以保证T中存储的顶点是拓扑序列。
2、抽象算法描写叙述
算法的抽象描写叙述为:
NonSuccFirstTopSort(G){//优先输出无后继的顶点
while(G中有出度为0的顶点)
do {
从G中选一出度为0的顶点v且输出v;
从G中删去v及v的全部人边
}
if(输出的顶点数目<|V(G)|)
Error("G中存在有向环,排序失败!");
}
3、算法求精
在对该算法求精时,可用逆邻接表作为G的存储结构。设置一个向量outdegree[0..n-1]或在逆邻接表的顶点表结点中添加1个出度域来保存各顶点当前的出度;设置一个栈或队列来暂存全部出度为零的顶点。除了添加一个栈或向量T来保存输出的顶点序列外,该算法全然类似于NonPreFirstTopSort。
四、利用深度优先遍历对DAG拓扑排序
当从某顶点v出发的DFS搜索完毕时,v的全部后继必然均已被訪问过(想像它们均已被删除),此时的v相当于是无后继的顶点,因此在DFS算法返回之前输出顶点v就可以得到 DAG的逆拓扑序列。
int map[Max][Max]; //採用邻接矩阵存储方式 int vis[Max],topo[Max]; //vis表示结点是否被訪问过 int m,n; bool Dfs(int u) { vis[u]=-1; //-1表示当前节点正在被訪问 for(int v=1;v<=n;v++) { if(map[u][v]) { if(vis[v]<0) {return false;} //结点u的邻接点v若也正在被訪问,表示有环 else if(!vis[v]&&!Dfs(v)) return false;//v未訪问,且遍历v失败,返回false } } vis[u] = 1;topo[--t]=u; return true; } bool toposort() { t=n; memset(vis,0,sizeof(vis)); for(int u=1;u<=n;u++) { if(!vis[u]){ if(!Dfs(u)) return false; } } return true; }