算法进阶 （LIS变形） 固定长度截取求最长不下降子序列【动态规划】【树状数组】
先学习下LIS最长上升子序列
看了大佬的文章OTZ：最长上升子序列 (LIS) 详解+例题模板 (全)，其中包含普通O(n)算法*和以LIS长度及末尾元素成立数组的普通O(nlogn)算法，当然还有本文涉及的树状数组维护后的O(nlogn)算法*。
再贴一个容易理解的树状数组算法：https://www.cnblogs.com/war1111/p/7682228.html
再看看这道题
原题链接：http://acm.hnucm.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?id=1373
题目描述
给定一个序列 a，求去除 a 中一段连续长度为 L 的序列后，a 的最长不下降子序列的长度的最大值。
输入
单组数据。
第一行两个整数 n,L 表示序列的长度为 n，L 如题意所示。
第二行 n 个数表示序列 a
n ≤ 105, 0 ≤ L ≤ n
输出
输出一个整数表示最长不下降子序列长度的最大值
样例输入
6 3
2 1 3 6 4 5
样例输出
3
思路：假设数组 dp[i] 为 以 a[i] 结尾的LIS
dn[i] 为 以 a[i] 结尾并截取 l 长度后的最优LIS
状态转移：
1、首先应该想到在 i < L 时 dn[i] = 0;
2、其次考虑 i>=L
① 截取的 l 长度为 a[i-L] ~ a[i-1] 时，只需考虑把 a[i] 加在 a[1] ~ a[i-L-1] 后面，即满足条件的 dp[1] ~ dp[i-L-1] 中的最大值。 dn[i] = max { dp[j]+1 } (1 <= j < i - L , A[j] < A[i] )
② 截取的 l 长度在 ①条件 之前，那么这个时候是不是可以在 dn 数组本身去找，因为前面的dn就是截取后的呀，即满足条件的 dn[1] ~ dn[i-1]中的最大值。 dn[i] = max { dn[j]+1 } (1 <= j < i , A[j] < A[i] )
最后 ans 就是 dni中的最大值 <截取在 i 之前> 以及 dpi中最大<截取在 i 之后>。
dp思路类似于 蓝桥杯——最大的算式
代码实现
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1e5;
int a[maxn+5],dp[maxn+5],dn[maxn+5];
int main()
{
int n,k,ans=0;
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=0; i<n; i++){
scanf("%d",&a[i]);
}
//求 dp[i] , O(n^2)
for(int i=0; i<n; i++){
dp[i] = 1;
for(int j=0; j<i; j++){
if(a[i] >= a[j]){
dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1);
}
}
}
//求dn[i]
for(int i=0; i<n; i++){
dn[i] = 0;
if(i>=k){
for(int j=0; j<i-k; j++)
if(a[i] >= a[j])
dn[i] = max(dn[i],dp[j]+1);
for(int j=k; j<i; j++){
if(a[i] >= a[j]){
dn[i] = max(dn[i],dn[j]+1);
}
}
ans = max(ans, dn[i]);
}
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
相信思路应该很清晰吧，对于之前做 dp 都是读完题万年懵，一看题解知天下，这道题当时能把状态转移搞清楚真的很有成就感，BUT 超时超时超时！！！
其实思路不变，按照LIS树状数组思路去做，对应的 dn[i] 也开一个对应的树状数组存储，用到了离散化，当输入值比较大则会超出树状数组范围，但是输入数量一定，就按照输入值的大小顺序及关系（大于，小于，等于）重新赋值覆盖输入值。
在hnucm平台上这道题提交了20多次测试，感谢不杀之恩orz：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5+10;
int t[2][maxn],dp[maxn],dn[maxn],n,L,ans=0;
struct Node {int val,num;} a[maxn];
bool cmp(Node a,Node b){
return a.val<b.val;
}
bool cmp1(Node a,Node b){
return a.num<b.num;
}
// T[x] 表示目前以数值 x 结尾的最大长度;t[0][x]对应dp[i]的树状数组，t[1][x]对应dn[i]的树状数组
int query(int p,int x){
int cnt = 0;
while(x) cnt=max(cnt,t[p][x]), x-=x&-x;
return cnt;
}
int update(int p,int x,int m){
while(x<=n) t[p][x]=max(t[p][x],m), x+=x&-x;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&L);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i].val);
a[i].num = i;
}
sort(a+1,a+1+n,cmp);
a[1].val = 1;
for(int i=2,k=1;i<=n;i++){
if(a[i].val==a[i-1].val) a[i].val = k;
else a[i].val = ++k;
}
sort(a+1,a+1+n,cmp1);
for(int i=1; i<=n; i++){
dp[i] = query(0,a[i].val) +1; //每次遍历的时候用 dp[i] 去查询更新当前的 T[a[i]]
update(0,a[i].val,dp[i]);
if(i>L){
dn[i] = query(1,a[i].val) +1;
update(1,a[i].val,dn[i]); //在已截取的基础上寻找LIS
update(1,a[i-L].val,dp[i-L]); //截取当前元素的前L个
ans = max(ans,dn[i]);
}
}
for(int i=1;i<=n-L;i++){ //如果截取的L在最优LIS后面，取出来没有截取的就行
ans=max(ans,dp[i]);
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
