探索数据结构：解锁计算世界的密码

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所属专栏：数据结构与算法
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前言

随着应用程序变得越来越复杂和数据越来越丰富，几百万、几十亿甚至几百亿的数据就会出现，而对这么大对数据进行搜索、插入或者排序等的操作就越来越慢，人们为了解决这些问题，提高对数据的管理效率，提出了一门学科即：数据结构与算法

1. 什么是数据结构

数据结构(Data Structure)是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

下标是常见的数据结构:

名称	定义
数组（Array）	数组是一种聚合数据类型，它是将具有相同类型的若干变量有序地组织在一起的集合。
链表（Linked List）	链表是一种数据元素按照链式存储结构进行存储的数据结构，这种存储结构具有在物理上存在非连续的特点。
栈（Stack）	栈是一种特殊的线性表，它只能在一个表的一个固定端进行数据结点的插入和删除操作
队列（Queue）	队列和栈类似，也是一种特殊的线性表。和栈不同的是，队列只允许在表的一端进行插入操作，而在另一端进行删除操作。
树（Tree）	树是典型的非线性结构，它是包括，2 个结点的有穷集合 K
堆（Heap）	堆是一种特殊的树形数据结构，一般讨论的堆都是二叉堆。
图（Graph）	图是另一种非线性数据结构。在图结构中，数据结点一般称为顶点，而边是顶点的有序偶对

2. 什么是算法

算法(Algorithm):就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

算法一般分为：排序，递归与分治，回溯，DP，贪心，搜索算法

算法往往数学密切相关，就如数学题一样，每道数学题都有不同的解法，算法也是同理。

3. 复杂度分析

3.1 算法评估

我们在进行算法分析时，常常需要完成两个目标。一个是找出问题的解决方法，另一个就是找到问题的最优解。而为了找出最优解，我们就需要从两个维度分析：

时间效率：算法运行的快慢
空间效率：算法所占空间的大小

3.2 评估方法

评估时间的方法主要分为两种，一种是实验分析法，一种是理论分析法。

(1) 实验分析法

实验分析法简单来说就是将不同种算法输入同一台电脑，统计时间的快慢。但是这种方法有两大缺陷：

无法排查实验自身条件与环境的条件的影响：比如同一种算法在不同配置的电脑上的运算速度可能完全不同，甚至结果完全相反。我们很难排查所有情况。
成本太高：同一种算法可能在数据少时表现不明显，在数据多时速率较快

(2) 理论分析法

由于实验分析法的局限性，就有人提出了一种理论测评的方法，就是渐近复杂度分析(asymptotic complexity analysis)，简称复杂度分析。

这种方法体现算法运行所需的时间（空间）资源与输入数据大小之间的关系，能有效的反应算法的优劣。

4. 时间复杂度与空间复杂度

4.1 时间复杂度

一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

为了准确的表述一段代表所需时间，我们先假设赋值(=)与加号(+)所需时间为1ns，乘号(×)所需时间为2ns，打印所需为3ns。

让我们计算如下代码所需总时间：

int main()
{
	int i = 1;//1ns
	int n = 0;//1ns
	scanf("%d", &n);
	for (i = 0; i < n; i++)
	{
		printf("%d ", i);//3ns
	}
	return 0;
}

计算时间如下：
$$
T(n)=1+1+3×n=3n+2
$$

但是实际上统计每一项所需时间是不现实的，并且由于是理论分析，当n—>∞时，其余项皆可忽略，T(n)的数量级由最高阶决定。所以我们计算时间复杂度时，可以简化为两个步骤：

忽略除最高阶以外的所有项。
忽略所有系数。

而上述代码时间可以记为O(n)，这种方法被称为大O的渐进表示法。如果计算机结果全是常数，则记为O(1)。

并且计算复杂度时，有时候会出现不同情况的结果，这是应该以最坏的结果考虑。

4.2 空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。空间复杂度的表示也遵循大O的渐进表示法

让我们计算一下冒泡排序的空间复杂度

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

通过观察我们可以看出，冒泡排序并没有开辟多余的空间，所以空间复杂度为O(1).

5. 复杂度分类

算法的复杂度有几个量级，表示如下：
$$
O(1) < O( log N) < O(N) < O(Nlog N) < O(N 2 ) < O(2^𝑛 ) < 𝑂(O!)
$$

从左到右复杂度依次递增，算法的缺点也就越明显

图示如下：

5.1 常数O(1)阶

常数阶是一种非常快速的算法，但是在实际应用中非常难实现

以下是一种时间复杂度与空间复杂度皆为O(1)的算法：

int main()
{
	int a = 0;
	int b = 1;
	int c = a + b;
	printf("两数之和为%d\n", c);
	return 9;
}

5.2 对数阶O(logN)

对数阶是一种比较快的算法，它一般每次减少一半的数据。我们常用的二分查找算法的时间复杂度就为O(logN)

二分查找如下：

int binary_search(int nums[], int size, int target) //nums是数组，size是数组的大小，target是需要查找的值
{
    int left = 0;
    int right = size - 1;	// 定义了target在左闭右闭的区间内，[left, right]
    while (left <= right) {	//当left == right时，区间[left, right]仍然有效
        int middle = left + ((right - left) / 2);//等同于 (left + right) / 2，防止溢出
        if (nums[middle] > target) {
            right = middle - 1;	//target在左区间，所以[left, middle - 1]
        } else if (nums[middle] < target) {
            left = middle + 1;	//target在右区间，所以[middle + 1, right]
        } else {	//既不在左边，也不在右边，那就是找到答案了
            return middle;
        }
    }
    //没有找到目标值
    return -1;
}

空间复杂度为O(logN)的算法，一般为分治算法

比如用递归实现二分算法：

int binary_search(int ar[], int low, int high, int key)
{
    if(low > high)//查找不到
        return -1;
    int mid = (low+high)/2;
    if(key == ar[mid])//查找到
        return mid;
    else if(key < ar[mid])
        return Search(ar,low,mid-1,key);
    else
        return Search(ar,mid+1,high,key);
}

每一次执行递归都会对应开辟一个空间，也被称为栈帧。

5.3 线性阶O(N)

线性阶算法，时间复杂度与空间复杂度随着数量均匀变化。

遍历数组或者链表是常见的线性阶算法，以下为时间复杂度为O(N)的算法：

int main()
{
	int n = 0;
	int count = 0;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		count += i;//计算0~9的和
	}
	return 0;
}

以下为空间复杂度为O(N)的算法

int main()
{
	int n = 0;
	int count = 0;
	scanf("%d", &n);
	int* p = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
	//开辟大小为n的空间
	if (p == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		return -1;
          }
       free(p);
       p=NULL;
	return 0;
}

5.4 线性对数阶O(NlogN)

无论是时间复杂度还是空间复杂度，线性对数阶一般出现在嵌套循环中，即一层的复杂度为O(N)，另一层为O(logN)

比如说循环使用二分查找打印：

int binary_search(int nums[], int size, int target) //nums是数组，size是数组的大小，target是需要查找的值
{
    int left = 0;
    int right = size - 1;	// 定义了target在左闭右闭的区间内，[left, right]
    while (left <= right) {	//当left == right时，区间[left, right]仍然有效
        int middle = left + ((right - left) / 2);//等同于 (left + right) / 2，防止溢出
        if (nums[middle] > target) {
            right = middle - 1;	//target在左区间，所以[left, middle - 1]
        }
        else if (nums[middle] < target) {
            left = middle + 1;	//target在右区间，所以[middle + 1, right]
        }
        else {	//既不在左边，也不在右边，那就是找到答案了
            printf("%d ", nums[middle]);
        }
    }
    //没有找到目标值
    return -1;
}
void func(int nums[], int size, int target)
{
	for (int i = 0; i < size; i++)
	{
		binary_search(nums, size, target);
	}
}

空间复杂度为O(NlogN)的算法，最常见的莫非归并排序

void Merge(int sourceArr[],int tempArr[], int startIndex, int midIndex, int endIndex){
    int i = startIndex, j=midIndex+1, k = startIndex;
    while(i!=midIndex+1 && j!=endIndex+1) {
        if(sourceArr[i] > sourceArr[j])
            tempArr[k++] = sourceArr[j++];
        else
            tempArr[k++] = sourceArr[i++];
    }
    while(i != midIndex+1)
        tempArr[k++] = sourceArr[i++];
    while(j != endIndex+1)
        tempArr[k++] = sourceArr[j++];
    for(i=startIndex; i<=endIndex; i++)
        sourceArr[i] = tempArr[i];
}
 
//内部使用递归
void MergeSort(int sourceArr[], int tempArr[], int startIndex, int endIndex) {
    int midIndex;
    if(startIndex < endIndex) {
        midIndex = startIndex + (endIndex-startIndex) / 2;//避免溢出int
        MergeSort(sourceArr, tempArr, startIndex, midIndex);
        MergeSort(sourceArr, tempArr, midIndex+1, endIndex);
        Merge(sourceArr, tempArr, startIndex, midIndex, endIndex);
    }
}

5.5 平方阶O(N²)

平方阶与线性对数阶相似，常见于嵌套循环中，每层循环的复杂度为O(N)

时间复杂度为O(N²)，最常见的就是冒泡排序

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

计算过程如下;
$$
T(N)=1+2+3+......+n-1=(n^2-n)/2=O(n2)
$$

空间复杂度为O(N²)，最简单的就是动态开辟。

{
	int n = 0;
	int count = 0;
	scanf("%d", &n);
	int* p = (int*)malloc(sizeof(int) * n*n);
	//开辟大小为n的空间
	if (p == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		return -1;
          }
       free(p);
       p=NULL;
	return 0;
}

5.6 指数阶O(2^N)

指数阶的算法效率低，并不常用。

常见的时间复杂度为O(2^N)的算法就是递归实现斐波拉契数列：

int Fib1(int n)
{
	if (n == 1 || n == 2)
	{
		return 1;
	}
	else
	{
		return Fib1(n - 1) + Fib1(n - 2);
	}
}

粗略估计
$$
T(n)=2⁰⁺²1+2^2+.....+2(n-1)=2^n-1=O(2N)
$$

值得一提的是斐波拉契的空间复杂度为O(N)，因为在递归至最深处后往回归的过程中，后续空间都在销毁的空间上建立的，这样能大大提高空间的利用率。

空间复杂度为O(2^N)的算法一般与树有关，比如建立满二叉树

TreeNode* buildTree(int n) {
	if (n == 0)
		return NULL;
	TreeNode* root = newTreeNode(0);
	root->left = buildTree(n - 1);
	root->right = buildTree(n - 1);
	return root;
}

5.7 阶乘阶O(N!)

阶乘阶的算法复杂度最高，几乎不会采用该类型的算法。

这是一个时间复杂度为阶乘阶O(N!)的算法

int func(int n)
{
	if (n == 0)
		return 1;
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++) 
	{
		count += func(n - 1);
	}
	return count;
}

示意图：

空间复杂度为阶乘阶O(N!)的算法并不常见，这里就不在一一列举。

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posted @ 2024-03-02 23:48 Betty’sSweet 阅读(14) 评论(0) 编辑收藏举报

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探索数据结构：解锁计算世界的密码

前言

1. 什么是数据结构

2. 什么是算法

3. 复杂度分析

3.1 算法评估

3.2 评估方法

(1) 实验分析法

(2) 理论分析法

4. 时间复杂度与空间复杂度

4.1 时间复杂度

4.2 空间复杂度

5. 复杂度分类

5.1 常数O(1)阶

5.2 对数阶O(logN)

5.3 线性阶O(N)

5.4 线性对数阶O(NlogN)

5.5 平方阶O(N²)

5.6 指数阶O(2^N)

5.7 阶乘阶O(N!)

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前言

1. 什么是数据结构

2. 什么是算法

3. 复杂度分析

3.1 算法评估

3.2 评估方法

(1) 实验分析法

(2) 理论分析法

4. 时间复杂度与空间复杂度

4.1 时间复杂度

4.2 空间复杂度

5. 复杂度分类

5.1 常数O(1)阶

5.2 对数阶O(logN)

5.3 线性阶O(N)

5.4 线性对数阶O(NlogN)

5.5 平方阶O(N2)

5.6 指数阶O(2N)

5.7 阶乘阶O(N!)

公告

5.5 平方阶O(N²)

5.6 指数阶O(2^N)