Fast Newman-FN算法以及模块度定义介绍

 一、社区的定义

     Newman第一次提出模块度定义就是在2004年发表的这篇文章“fast algorithm for community structure in networks”，第一次用量化的公式来确定社区划分。

     首先，我们来看Newman如何定义社区的：the vertices in networks are often found to cluster into tightly knit groups with a high density of within-group edges and a lower density of between -group edges。

    用大白话说就是：社区内部的边尽可能地多，但是社区之间的边尽可能地少

（一些定义）：i、j指社区i和社区j；

                   n是网络中节点的数量；

                   m是网络中边的数量。一条边上连接两个节点，和明显，2m即网络中所有节点度之和

二、如何量化到模快度？

    我们先用e_ij表示社区i和社区j之间连接的边的数量比整个网络边的数量，e_ii表示社区i内部边的数量比整个网络边的数量，既然这样的话我们只要使∑_ie_ii尽可能大就好了，但是问题又来了，最大肯定就是1咯，所有节点归为一个社区，那这样很明显就没有意义了。

    于是他有提出，网络中连接两个同种类型的边（即社区内部的边的比例e_ii）减去在相同结构下任意连接这两个节点边的比例的期望，于是模块度登场

               Q=∑_i(e_ii-a_i²)

 其中，a_i=∑_je_ij  表示与社区i中节点相连的边占所有边的比例。如果社团内部边的比例不大于社团内部边随机连接的期望，那么Q=0,最大时为1。一般来说，Q值最大对应的社团结构就是网络中的社团结构

三、如何变成算法可操作性？

     意思来了，我们只要优化Q就好了，但是如何把n个节点划分多少个社区？每个社区多少个节点？作者指出有2^n-1种可能，这样的话根本无法将Q推广在高于20节点以上的网络？为了减少时间复杂度，作者提出一种贪婪策略

    FN：（1）首先将网络中每个节点自定义成一个社区

           （2）计算出两两社区结合是Q的值，找到Q增加最大的或者减少最少的合并方式进行社区合并

           （3）直到所有社区合并成一个大社区时停止，找出合并过程中最大的Q是的社区划分结果

这个时候，Newman有注意到，当两个社区合并时，模块度的增量detaQ=(e_ji+e_ij-2a_i*a_j)=2(e_ij-2a_i*a_j)

四、代码来了

 

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

clear all close all clc   % load preprocess.mat % E=e; load('dolphin.mat'); E=A; % E(find(E>0))=1;%建立邻接矩阵 tic; e=E; e(e==1)=1/sum(E(:)); a=sum(e); n=size(A,2); b=[1:n]; b=num2cell(b);%用来存储社团元素的变量 c={}; k=1; while length(e)>1       lg=length(e);       detaQ=-(10^9)*ones(n-k+1);%△Q       for i=1:lg-1           for j=i+1:lg              if e(i,j)~=0                 detaQ(i,j)=2*(e(i,j)-a(i)*a(j));%计算△Q              end           end       end    if sum(detaQ+(10^9))==0       break    end % Q(k)=max(detaQ(:));%寻找△Q的最大值，并把它存储进Q(k)矩阵 %-----------------------------寻找最大△Q对应的两个社团，并将其合并，并改变e矩阵 [I,J]=find(detaQ==max(detaQ(:)));        for ii=1:length(I)          e(J(ii),:)=e(I(ii),:)+e(J(ii),:);          e(I(ii),:)=0;          e(:,J(ii))=e(:,I(ii))+e(:,J(ii));          e(:,I(ii))=0;   % e(I,I)=e(I,I)/2; %—————————记录△Q最大所对应的社团以及各社团中的元素           b{J(ii)}=[b{I(ii)} b{J(ii)}];         b{I(ii)}=0;      end     e(I,:)=[];   e(:,I)=[];   b(I)=[];   c(k,:)=num2cell(zeros(1,n));   c(k,1:length(b))=b;   for kk=1:length(b)       c2=cell2mat(c(k,kk));       c2(c2==0)=[];       c{k,kk}=c2;       c2=[];   end a=sum(e); k=k+1; tmp=0;   for jj=1:length(e)       tmp=tmp+(e(jj,jj)-a(jj)*a(jj));   end Q(k)=tmp; end max_k=find(Q==max(Q(:)))-1;   ll=0; for i=1:length(c(max_k,:))     if sum(c{max_k,i})~=0         ll=ll+1;         c{max_k,i}=c{max_k,i}(c{max_k,i}~=0);     end end c_newman=c(max_k,1:ll); label=zeros(n,1); for i=1:ll     label(c{max_k,i}')=i; end