线性基学习笔记

1.可以用于处理与异或有关的问题（异或最大值，一堆数中有无子集异或等于0，某数在一堆数异或中的排名）

2.插入操作

x=read();
for(int j=60;j>=0;j--)
{
    //cout<<(int)((int)1<<j)<<"\n";
    if((int)((int)1<<j)&x)
    {
        if(p[j]==0)
        {
            p[j]=x;
            break;
        }
        else
            x^=p[j];
    }
}

3.性质

（1）、线性基内任何子集的异或和不为0。

（2）、线性基外的所有数必能由线性基内一些数异或得到。

证明：

（1）、如果插入数x后异或和为0，则x^p1^p2^……^pt=0。则x在插入时，异或p1，p2……后即为0，就不会插入x。

（2）线性基外的数没有被插入，则肯定在中途被异或成0了，则他可以被线性基中一些数异或得到。

4.查询异或最大值：

直接在线性基中贪心,如果异或p[i]变得更大，就异或p[i]。

首先由性质(2)，原序列所有数都能被线性基内的数异或得到。那么最大值一定可以通过线性基中数异或得到。

pi即表示可以异或一个二进制最高位为i的数。

如果现在ans这一位为0，那肯定异或p[i]后变得更大，如果这一位是1，那异或p[i]这一位变成0了，随便咋个异或后头的数都莫得办法变大了，那就不异或。

代码如下：

int ans=0;
for(int i=52;i>=0;i--)
{
    ans=max(ans,ans^p[i]);
}

5.

查询排名第k小的数。

首先如果有异或等于0的，先把k--，因为线性基里头莫得0。然后先把p数组 \( n^{2} \)预处理一哈，如果p[i]&(1<<j) p[i]^=p[j] （j=i;j>=0;j--），就保证了靠这一位影响不到后头。然后就将k转成二进制，从0枚举到最高位，如果k第i为为1，就把答案异或上p中的从0到最高位上第i个元素即可。

6.

例题

洛谷P4301

P3265 (实数线性基)

P3292