线性时不变系统可观 (observable) 与可检 (detectable) 的等价命题证明
本文是上一篇《线性时不变系统可镇定 (stabilizable) 等价命题证明》(https://www.cnblogs.com/beta2187/p/B1726.html) 的延续, 公式定义等的编号也按上一篇顺延.
考虑如下线性时不变系统:
$$ \dot{x} = Ax + Bu \qquad (1) \\ y = Cx + Du \qquad (2) $$
*(注: 矩阵或向量上的 " * " 均代表转置)*
定义 4 对任意 \(t_1>0\), 若初始状态 \(x(0) = x_0\) 能够由输入 \(u(t)\) 和输出 \(y(t)\) 在区间 \([0, t_1]\) 上的值唯一 确定, 则称由方程 (1) 和 (2) 或者矩阵对 \((C, A)\) 所描述的动态系统是可观的, 否则该系统或 \((C, A)\) 是不可观的.
定理 3 下列命题等价:
- (i) \((C, A)\) 可观;
- (ii) 矩阵 \(W_o(t) = \int_0^t e^{A^*\tau}C^*Ce^{A\tau} d\tau\) 对任意 \(t>0\) 是正定的;
- (iii) 可观测性矩阵 $$ \mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \ CA \ CA^2 \ \vdots \ CA^{n-1} \end{bmatrix} $$ 是列满秩的, 或者 \(\bigcap_{i=1}^n \text{Ker} (CA^{i-1}) = 0\);
- (iv) 对所有的 \(\lambda \in \mathbb{C}\), 矩阵 \(\binom{A- \lambda I}{C}\) 是列满秩的;
- (v) 设 \(\lambda\) 和 \(y\) 分别是 \(A\) 的任意特征值和相应的任意右特征向量, 即 \(Ay = \lambda y\), 则 \(Cy \neq 0\);
- (vi) 通过适当选取 \(L\) 能够任意配置 \(A+LC\) 的特征值 (条件是复数特征值必须以共轭对出现);
- (vii) \((A^*, C^*)\) 是可控的.
证明:
首先证明 (i)\(\Leftrightarrow\)(iii). "\(\Leftarrow\)": 输入 \(u(t)\), 输出 \(y(t)\) 和初始条件 \(x_0\) 的关系式为:
那么, \(x(0)\) 是否可由上式唯一确定仅取决于其前面的系数矩阵是否可逆. 因此, 我们不妨设 \(u(t) = 0\), 则 \(y(t)=C e^{A t} x(0)\). 于是
因为矩阵 \(\mathcal{O}\) 列满秩, 所以上式存在唯一解 \(x(0)\), 即 \((C, A)\) 可观.
"\(\Rightarrow\)": 用反证法. 假设 \((C, A)\) 可观, 但可观测矩阵 \(\mathcal{O}\) 列不满秩, 即存在向量 \(x_0\) 使得 \(\mathcal{O} x_0 = 0\), 因此 \(CA^i x_0 = 0 (i\geq0)\). 取 \(x(0) = x_0\), 则 \(y = Ce^{At} x(0)\). 根据哈密顿-凯莱定理, 矩阵指数 \(e^{At}\) 可表为
将其带入 \(y\) 可得
也就是说, \(x(0)\) 不能由 \(y(t) \equiv 0\) 来决定, 即系统不可观, 矛盾.
((iii)中最后一句话解释: 一个矩阵 \(A\) 的零空间是方程 \(Av = 0\) 的所有解 \(v\) 的集合)
(i)\(\Leftrightarrow\)(vii). 系统 (1) 和 (2) 的对偶系统为
可得 \((C, A)\) 可观与 \((A^*, C^*)\) 可控等价.
(ii)\(\Leftrightarrow\)(vii). 将矩阵 \(A^*, C^*\) 带入定理 1(ii) 即可. (定理 1 指的是上一篇文章 https://www.cnblogs.com/beta2187/p/B1726.html 中的定理 1, 下同)
(iv)\(\Leftrightarrow\)(vii). 由定理1(iv) 可得, \((A^*, C^*)\) 可控 \(\Leftrightarrow\) 矩阵 \([A^*-\lambda I\quad C^*]\) 行满秩, 亦即 (其转置) 矩阵 \(\binom{A-\lambda I}{C}\) 列满秩.
(v)\(\Leftrightarrow\)(vii). 对对偶系统, 由定理1(v), \((A^*, C^*)\) 可控 \(\Leftrightarrow\) 对满足 \(Ay = \lambda y\) 的 \(y\) 和 \(\lambda\), 有 \(y^*C^* \neq 0\), 即 \(Cy \neq 0\).
(vi)\(\Leftrightarrow\)(vii). 由定理1(vi), \((A^*, C^*)\) 可控 \(\Leftrightarrow\) 存在矩阵 \(F\) 使得 \(A^*+C^*F\) 的特征值可自由配置, 取 \(L = F^*\), 即其转置矩阵 \(A + LC\) 的特征值可自由配置.
定义 5 如果存在 \(L\) 使得 矩阵 \(A + LC\) 稳定, 则称系统 (1) 和 (2) 或矩阵对 \((C, A)\) 可检测.
定理 4 下列命题等价:
- (i) \((C, A)\) 可检测;
- (ii) 对所有满足 \(\text{Re}\lambda\geq0\) 的特征值, 有 \(\binom{A-\lambda I}{C}\) 列满秩;
- (iii) 对所有使得 \(Ax = \lambda x\) 和 \(\text{Re} \lambda \geq 0\) 成立的 \(\lambda\) 和 \(x\), 有 \(Cx = 0\);
- (iv) 存在矩阵 \(L\) 使得 \(A + LC\) 为 Hurwitz 矩阵;
- (v) \((A^*, C^*)\) 可镇定.
证明
(下文中提到的定理 2指的是 https://www.cnblogs.com/beta2187/p/B1726.html 中的定理 2)
(i)\(\Leftrightarrow\)(v). 根据对偶系统和原系统的关系, 可知等价性.
(ii)\(\Leftrightarrow\)(v). 由定理 2(ii) 可知, \((A^*, C^*)\) 可镇定 \(\Leftrightarrow\) 对所有满足 \(\text{Re}\lambda\geq0\) 的特征值有 \([A^* - \lambda I \quad C^*]\) 行满秩, 即 (其转置) 矩阵 \(\binom{A-\lambda I}{C}\) 列满秩.
(iii)\(\Leftrightarrow\)(v). 由定理 2(iii) 可知, \((A^*, C^*)\) 可镇定 \(\Leftrightarrow\) 对所有使得 \(Ax = \lambda x\) 和 \(\text{Re} \lambda \geq 0\) 成立的 \(\lambda\) 和 \(x\) 有 \(x^*C^* \neq 0\), 即 \(Cx \neq 0\).
(iv)\(\Leftrightarrow\)(v). 由定理 2(iv) 可知, \((A^*, C^*)\) 可镇定 \(\Leftrightarrow\) 存在矩阵 \(F\) 使得 \(A^*+C^*F\) 为 Hurwitz, 取 \(L = F^*\), 即其转置矩阵 \(A + LC\) 也为 Hurwitz.
本文中的定义定理来自文献 [1], 但在[1] 中没有给出详细证明过程.
参考文献:
[1] Kemin Zhou, Robust and Optimal Control, PRENTICE HALL, Englewo o d Cliffs, New Jersey 07632.
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