线性时不变系统可镇定 (stabilizable) 等价命题证明

考虑如下的线性时不变系统:

\begin{align} \dot{x} = Ax + Bu \\ y = Cx + Du \end{align}

*(注: 矩阵或向量上的 " * " 均代表转置)*

定理 1 下列命题等价:

• (i) \((A, B)\) 可控;
• (ii) 对任意的 \(t\geq 0\), 矩阵 \(W_{c}(t):=\int_{0}^{t} e^{A \tau} B B^{*} e^{A^{*} \tau} d \tau\) 正定;
• 可控性矩阵 \(\mathcal{C}=\left[\begin{array}{lllll}{B} & {A B} & {A^{2} B} & {\ldots} & {A^{n-1} B}\end{array}\right]\) 行满秩, 即 \(\langle A | I m B\rangle:=\sum_{i=1}^{n} \operatorname{Im}\left(A^{i-1} B\right)=\mathbb{R}^{n}\);
• 对所有的 \(\lambda \in \mathbb{C}\), 矩阵 \([A-\lambda I, B]\) 行满秩;
• 设 \(\lambda\) 和 \(c\) 为矩阵 \(A\) 的任意特征值和相应的任意左特征向量, 即 \(x^{*} A=x^{*} \lambda\), 那么 \(x^{*} B \neq 0\);
• 通过选取适当的矩阵 \(F\), 矩阵 \(A+BF\) 的特征值可自由配置.

定义 2 对于一个非强迫系统 \(\dot{x} = Ax\), 如果 \(A\) 的所有特征值均位于左半开平面, 即 \(\text{Re}\lambda(A)<0\), 则该系统是稳定的. 具有此类性质的矩阵 \(A\) 称为稳定矩阵或 Hurwitz 矩阵.

定义 3 若存在状态反馈 \(u = Fx\) 使得系统 (1) 稳定, 即使得 \(A+BF\) 稳定, 则称 (1) 或矩阵对 \((A,B)\) 可镇定.

定理 2 下列命题等价:

• (i). \((A,B)\) 可镇定;
• (ii) 对所有 \(\text{Re}\lambda \geq 0\), \([A-\lambda I\quad B]\) 行满秩;
• (iii) 对满足 \(x^*A = x^*\lambda\) 且 \(\text{Re}\lambda \geq 0\) 的所有 \(\lambda\) 和 \(x\), 有 \(x^*B\neq0\);
• (iv) 存在 \(F\) 使得 \(A+BF\) 为 Hurwitz.

证明:
(i)\(\Leftrightarrow\)(iv): "\(\Rightarrow\)": 若\((A,B)\)可镇定, 则存在 \(F\) 使 \(A+BF\) 稳定, 即 \(A+BF\) 为 Hurwitz. "\(\Leftarrow\)": 由定义 2, \(\text{Re}\lambda(A+BF)<0\), 则 \(A+BF\) 稳定, 由定义 3 可知 \((A,B)\) 可镇定.

(i)\(\Leftrightarrow\)(ii): "\(\Rightarrow\)": 系统 (1) 可镇定当且仅当存在矩阵 \(F\) 使得所有\(\text{Re}\lambda(A+BF)<0\) \(\Leftrightarrow\) 特征方程不存在非负根 \(\Leftrightarrow\) 对任意 \(\lambda = \lambda(A)\geq0\), 有 \(\text{rank}[\lambda I - (A + BF)] = n\).

\[\text{rank}[\lambda I - (A + BF)] = \text{rank}\left( [\lambda I-A \quad B] \begin{bmatrix} I\\ -F \end{bmatrix}\right)\\ \leq \min \left\{ \text{rank}[\lambda I-A \quad B], \text{rank}\begin{bmatrix} I\\ -F \end{bmatrix} \right\}\\ \leq \text{rank}[\lambda I-A \quad B]. \]

于是有 \(\text{rank}[\lambda I-A \quad B] = n\)

预备知识: 设 \(\Phi \in \mathbb{R}^{n\times n}, \Psi \in \mathbb{R}^{n\times r}, \Omega \in \mathbb{R}^{q\times n}\), 则存在\(X \in \mathbb{R}^{r\times q}\) 使得

\[\text{rank}(\Phi - \Psi X \Omega) = n \Leftrightarrow \text{rank}(\Phi\quad \Psi) = \text{rank} \begin{bmatrix} \Phi \\ \Omega \end{bmatrix} = n. \]

[段广仁等, 广义线性系统分析与设计, 科学出版社, 2012, 引理 5.4.1]

"\(\Leftarrow\)": 对满足 \(\text{Re} \lambda \geq 0\) 的任意复数 \(\lambda\), 选取\(\Phi_{n\times n} = A - \lambda I\), \(\Psi_{n\times r} = B\), \(\Omega_{n\times n} = -I_{n\times n}\), 于是存在 \(X_{r\times n} = F\) 使得: \(\text{rank} (A - \lambda I \quad B) = \text{rank} \binom{A - \lambda I}{-I_{n\times n}} = n\) \(\Leftrightarrow\) \(\text{rank} (A - \lambda I + BF) = \text{rank} (A - \lambda I + BF) = n\) \(\Rightarrow\) 矩阵 \(A+BF\) 不存在实部非负特征值, 即 \(A+BF\) 的特征值实部均小于零, 则 \((A,B)\) 可镇定.
(注: 充分性和必要性中的 \(F\) 不一定是同一个)

(ii)\(\Leftrightarrow\)(iii): "\(\Rightarrow\)" 用反证法, 假设存在非零\(x_1\) 满足\(x_1^*A = x_1^*\lambda\) 和\(\text{Re}\lambda \geq 0\), 但 \(x_1^*B = 0\), 则由 \(x_1^*A = x_1^*\lambda\) 可得 \(x_1^*(A - \lambda I) = 0\), 结合 \(x_1^*B = 0\) 可知, \(x_1^*(A - \lambda I\quad B) = 0\), 于是 \([A - \lambda I\quad B]\) 不满秩, 与(ii)矛盾. "\(\Leftarrow\)" 用反证法, 假设对存在 \(\text{Re}\lambda \geq 0\) 使得 \([A-\lambda I\quad B]\) 行不满秩, 则存在非零向量 \(x^*\) 使得 \(x^*[A - \lambda I\quad B] = 0\), 即 \(x^*A = x^*\lambda\) 且 \(x^*B = 0\), 矛盾.

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本文中的定义定理来自文献 [1], 但在[1] 中只给出了定理1的详细证明.
参考文献:
[1] Kemin Zhou, Robust and Optimal Control, PRENTICE HALL, Englewo o d Cliffs, New Jersey 07632.

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