特征值法解常系数线性微分方程解法总结
1. 引言
本文主要讲常系数线性微分方程的特征值法做了总结。在文献[1]的4.2节，详细介绍了常系数线性微分方程的解法，对特征方程根的各种情况（实根或复根&根的重数）进行分类讲解，但由于分类过于仔细，使得读者对根的情况的记忆比较困难，本文致力于将特征根的各种情形统一处理，便于对微分方程解进行记忆.
2. 准备知识
本节所有的研究都是围绕着方程
\begin{equation}
\frac{d^nx}{d t^n}+a_1(t)\frac{d ^{n-1}x}{d t^{n-1}}+ \cdots +a_{n-1}(t)\frac{d x}{d t}+a_n(t)x=f(x)
\end{equation}
进行的．其中 \(a_i(t)(i=1,2,\cdots,n)\) 及 \(f(t)\) 都是区间 \([a, b]\) 上的连续函数.
如果{} \(f(t)\equiv 0\)，则方程(1)变为
\begin{equation}
\frac{d^nx}{d t^n }+a_1(t)\frac{d^{n-1} x}{dt^{n-1}}+ \cdots +a_{n-1}(t)\frac{d x}{d t}+a_n(t)x=0
\end{equation}
设 $K=\alpha + \(i\)\beta$ 是任意复数，这里 \(\alpha,\beta\) 是实数，\(t\) 为实变量，那么有
\begin{equation}
e^{Kt} = e^{(\alpha + \text{i}\beta )t}=e^{\alpha t}(\cos{\beta t} + \text{i}\sin{\beta t})
\end{equation}
此公式可通过泰勒展开进行验证．
定理1.1 如果方程(2)中所有系数 \(a_i(t)(i=1,2,\cdots,n)\) 都是实值函数，而 \(x=z(t)=\varphi(t)+\text{i}\psi(t)\) 是方程的复值解，则\(z(t)\) 的实部 \(\varphi(t)\),虚部 \(\psi(t)\) 和共轭复数\(\overline{z}(t)\) 也都是方程(2)的解．
定理1.2若方程
有复值解\(x=U(t)+\text{i}V(t)\)，这里\(a_i(t)(i=1,2,\cdots,n)\) 及\(U(t),V(t)\) 都是实函数，那么这个解的实部\(U(t)\) 和虚部\(V(t)\) 分别是方程
和
的解．
注：上面两个定理保证了下述内容的正确性．定理1.1和定理1.2均来自文献[1].
3. 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程
3.1 常系数齐次线性微分方程的解
设齐次线性微分方程中所有系数都是常数，即方程有如下形状
\begin{equation}
L[x] \equiv \frac{d ^n x}{d t^n} +a_1\frac{d^{n-1} x}{d t^{n-1}} + \cdots + a_{n-1} \frac{d x}{d t} + a_nx=0
\end{equation}
其中 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 为常数．
按照前面的理论，为了求方程(4)的通解，只需求其基本解组．回顾一阶常系数齐次微分方程
已知，它有形如 \(x=e^{-at}\) 的解，且其通解就是 \(x=ce^{-at}\)．这就启发我们对方程(3)也去试求指数函数形式的解
\begin{equation}
x=e^{\lambda t}
\end{equation}
其中 \(\lambda\) 是待定常数，可以是实数，也可以是复数．注意到
\begin{align*} L[e^{\lambda t}] =\frac{d ^n e{\lambda t}}{d t^n}+a_1\frac{d ^{n-1} e{\lambda t}}{d t^{n-1}}+ \cdots +a_{n-1}\frac{d e{\lambda t}}{d t}+a_n e{\lambda t} \\ =(\lambda ^n +a_1\lambda ^{n-1} + \cdots + a_{n-1} + a_n)e^{\lambda t}\equiv F(\lambda)e^{\lambda t} \end{align*}
其中$F(\lambda)=\lambda ^n +a_1\lambda ^{n-1} + \cdots + a_{n-1} + a_n$，是 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式．式(5)为方程(4)的解的充要条件是 $\lambda$ 是代数方程 \begin{equation} F(\lambda)=\lambda ^n +a_1\lambda ^{n-1} + \cdots + a_{n-1} + a_n=0 \end{equation} 的根．称(6)为方程(4)的特征方程，它的根就称为特征根． 设方程(4)的某一特征根为$\lambda(k$重,$k\geqslant 1)$，则$k$ 重特征根$\lambda$ 对应于方程(4)的$k$ 个线性无关解为 $$ e^{\lambda t}, t e^{\lambda t},t^2 e^{\lambda t},\cdots, t^k e^{\lambda t}. $$ 当$\lambda$ 为复数时，只需用欧拉公式(3)转化，可得到$2k$ 个解，而 $\lambda$ 的共轭$\overline{\lambda}$ 用此办法转化时，也得到相同的$2k$ 个解，这与$\lambda$ 和$\overline{\lambda}$ 对应$2k$ 个解的事实相符．
3.2 Euler方程
形如
\begin{equation}
x^n \frac{d ^n y}{d x^n} + a_1x^{n-1} \frac{d ^{n-1} y}{d x^{n-1}} + \cdots +a_{n-1} x\frac{d y}{d x}+a_ny=0
\end{equation}
的方程称为欧拉方程，这里\(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 为常数．以\(y=x^k\) 代入(7)，并约去因子\(x^k\)，就得到用来确定\(k\) 的代数方程
\begin{equation}
k(k-1)\cdots(k-n+1)+a_1k(k-1)\cdots(k-n+2)+\cdots+a_n=0
\end{equation}
因此，方程(8)的\(m\) 重根\(k_0\) 对应于方程(7)的\(m\) 个解为
当为复数时，只需使用欧拉公式转换即可．
4. 非齐次线性微分方程(比较系数法)
下面讨论常系数非齐次线性微分方程
\begin{equation}
L[x]\equiv \frac{d ^n x}{d t^n}+a_1\frac{d ^{n-1} x}{d t^{n-1}}+ \cdots +a_{n-1}\frac{d x}{d t}+a_nx=f(t)
\end{equation}
的解．这里\(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 是常数，\(f(t)\) 是连续函数．
4.1 形式 I
设\(f(t) = (b_0t^m + b_1t^{m-1} +\cdots+ b_{m-1}t + b_m)e^{\lambda t}\)，其中\(\lambda\) 及\(b_i(i=1,2,\cdots,n)\) 为实常数．则方程(9)有形如
\begin{equation}
\tilde{x} = t^k(B_0 t^m + B_1 t^{m-1} +\cdots+ B_{m-1}t + B_m)e^{\lambda t}
\end{equation}
的特解．其中\(k\) 为特征方程\(F(\lambda)=0\) 的根\(\lambda\) 的重数(\(\lambda\) 不是特征根时认为是\(0\) 重)．而\(B_0,B_1,\cdots,B_m\) 是待定常数，只需将\(\tilde{x}\) 代入原方程，比较对应项的系数即可计算出\(B_0,B_1,\cdots,B_m\) ，也即求出了方程(9)的特解．
4.2 形式 II
设\(f(t) = [A(t)\cos\beta t + B(t)\sin\beta t]e^{\alpha t}\)．其中\(\alpha,\beta\) 为常数，而 \(A(t),B(t)\) 是关于\(t\) 的实系数多项式，\(A(t)\) 与\(B(t)\) 的次数为\(m\) ．则方程(9)有形如
\begin{equation}
\tilde{x} = t^k[P(t)\cos\beta t+Q(t)\sin\beta t]e^{\alpha t}
\end{equation}
的特解．这里\(k\) 是为特征方程\(F(\lambda)=0\) 的根\(\alpha+\text{i}\beta\) 的重数，而\(P(t),Q(t)\) 均为待定的带实系数的次数不超过\(m\) 的\(t\) 的多形式，将(11)代回(9)，通过比较对应项的系数即可求出\(P(t),Q(t)\)，也即求出了方程(9)的特解．
4.3 Euler方程的另一种解法
可用变换\(x=e^t(\text{即} t=\ln x)\) 将Euler方程(7)转化为前述的非齐次线性微分方程，即可求解．
参考文献
[1] 王高雄等. 常微分方程(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.
