初学一点点空间分解和有理标准型

我们来讨论一下有理标准型和 Jordan 标准型的关系。

对于 \(M_n(\mathbb{F})\) 上的方阵一定可以循环分解，存在有理标准型：\(A\sim F=\text{diag}(F_1,F_2,\cdots,F_s)\)，其中 \(m_{F_s}(\lambda)|m_{F_{s-1}}(\lambda)|\cdots|m_{F_1}(\lambda)=m_A(\lambda)\)；

其中 \(F_i\) 是 Frobenius Block，形如

\[F_i=\begin{pmatrix} & & & &-a_0\\1&&&&-a_1\\&1&&&-a_2\\&&\ddots&&\vdots\\&&&1&-a_{m-1}\end{pmatrix} \]

从线性空间的角度看，有理标准型相当于分解成若干个循环子空间的直和，在第 \(i\) 个空间上存在线性独立的 \((\alpha,A\alpha,\cdots,A^{m-1}\alpha)\)，且有 \(A^m(\alpha)=-\sum\limits_{i=0}^{m-1}a_iA^i(\alpha)\)，也就是循环向量 \(\alpha\) 符合 \(m_{F_i}(A)\alpha=0\).

假如在代数闭域上考虑：我们说，可以直接根据有理标准型各个子空间上的极小多项式写出其 Jordan 标准型。这里我们可以从 \(\lambda-\)矩阵的角度 或者 极小多项式的角度轻松理解，有理标准型的结构相当于对于每个不同特征值的 Jordan Block （或者是初等因子）从大到小的顺序进行堆砌。当我们想要从有理标准型求得 Jordan 分解，只需要对 Frobenius Block 依从大到小的顺序，分解其极小多项式并将其初等因子直接作成对应大小的 Jordan Block 即可。这一过程的合理性亦可以结合 \(m_{F_s}(\lambda)|m_{F_{s-1}}(\lambda)|\cdots|m_{F_1}(\lambda)\) 这一排序来理解。

可以从空间分解角度出发证明 Jordan 分解，但有理标准型的结构将不同的特征值混杂在一起，大多情况下还是不容易操作。实际上空间准素分解并不依赖于 \(\mathbb{F}\) 是代数闭的，因此推证 Jordan 标准型时可以采取先准素分解、后循环分解的方式，即先分出根子空间 \(U_i=\ker(\lambda_i E-A)^{n_i}\)，再根据该空间上的幂零线性变换 \(A-\lambda_iE\) 进行循环分解，其必为若干个

\[N_{i,j}=\begin{pmatrix} 0&\cdots & & &0\\1&0&&&0\\&1&\ddots&&\\&&\ddots&&\vdots\\&&&1&0\end{pmatrix} \]

的直和，从而在变换 \(A\) 下很自然地得到形如 \(J_{i,j}=N_{i,j}+\lambda_iE\) 的 Jordan Block.

当 \(\mathbb{F}\) 不是代数闭的，我们依然可以进行一定程度的细分。当完成准素分解后，根子空间不复存在，而变为了某个不可约多项式 \(p_i(x)\) 所对应的空间 \(U_i=\ker p_i(x)^{n_i}\)，且整个空间 \(V=\bigoplus U_i\)。为方便记 \(d=\deg p_i\)；对该空间再进行循环分解可以得到一系列友矩阵 \(F_{i,1},\cdots,F_{i,s}\)，其阶数递减且均为 \(d\) 的倍数，\(U_i=U_{i,1}\oplus\cdots\oplus U_{i,s}\)。为了细分，注意到对于阶数等于 \(kd\) 的友矩阵 \(F_{i,j}\)，其极小多项式等于 \(p_i^k(x)\)，断言其可以相似于

\[F_{i,j}\sim \begin{pmatrix}Q_i&&&\\E_{1,d}&Q_i&&\\&\ddots&\ddots&\\&&E_{1,d}&Q_i\end{pmatrix}=H_{i,j} \]

这里 \(Q\) 即为大小为 \(d\times d\) 的多项式 \(p_i(x)\) 的友矩阵，\(E_{1,d}=\begin{pmatrix}&1\\O&\end{pmatrix}\)；

证明上述分解可以从线性空间的角度，先写出空间大小为 \(kd\) 的子空间 \(U_{i,j}\) 的循环向量基 \((\alpha,A\alpha,\cdots,A^{kd-1}\alpha)\)，且 \(m_{A|_{U_{i,j}}}(A)\alpha=p_i^k(A)\alpha=0\). 可以验证所有的如下向量

\[\beta_{s,t}=(p_i^s(A)\cdot A^t)\alpha\quad(0\le s\le k-1,0\le t\le d-1) \]

可以构成 \(U_{i,j}\) 的一组基，且 \(A|_{U_{i,j}}\) 在这组基下的矩阵恰为 \(H_{i,j}\).

上述证明表明不可约多项式 \(p_i(x)\) 所对应的根子空间在有理标准型的基础上可以细分到 \(\deg p_i(x)\) 的大小。特别的，当 \(p_i(x)\) 为单项式 \(x-\lambda\) 时，该方法即为将根子空间作 Jordan 分解。所以说该分解结果类似于 Jordan 分解的一种广义情形。

在 \(\mathbb{R}\)（实数域）上不可约多项式都是二次的，因此上述分解中的 \(Q_i\) 均形如 \(\begin{pmatrix}&-c^2\\1&2b\end{pmatrix}\) ，一个实例如下（特征多项式为 \((\lambda^2+1)^2\)）：

\[\begin{pmatrix}&&&-1\\1&&&0\\&1&&-2\\&&1&0\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}&-1&&\\1&&&\\&1&&-1\\&&1&\end{pmatrix} \]

在 \(\mathbb{R}\) 上还可以从 Jordan 标准型的角度去考虑，实际上相当于把每一对共轭的复数特征值对应的向量一起有理化，得到形如

\[\begin{pmatrix}a&b&&&&\\-b&a&&&&\\1&&a&b\\&1&-b&a\\&&1&&a&b\\&&&1&-b&a\\&&&&&&\ddots \end{pmatrix} \]

的 Jordan Block（对应原先特征值为 \(a±b\sqrt{-1}\) 的两个块），一个实例如下（矩阵同上例，\((a,b)=(0,1)\)）：

\[\begin{pmatrix}&&&-1\\1&&&0\\&1&&-2\\&&1&0\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}&1&&\\-1&&&\\1&&&1\\&1&-1&\end{pmatrix} \]

这种一般称作实 Jordan 标准型。