平面点集部分定义、性质及证明
设 \(A\in \mathbb{R}^2\) 为平面内一点，\(E\) 为一个平面点集。
注：不失一般性地，以下邻域均表示圆形邻域。
- 内点：若 $\exist \delta\gt 0$，使 $U\left(A;\delta\right)\subseteq E$，则 $A$ 为 $E$ 的内点。
- 外点：若 $\exist \delta\gt 0$，使 $U\left(A;\delta\right)\cap E=\varnothing$，则 $A$ 为 $E$ 的外点。
- 界点：若 $\forall \epsilon\gt 0$，恒有 $U\left(A;\epsilon\right)\cap E\neq \varnothing$ 且 $U\left(A;\epsilon\right)\cap E^c\neq \varnothing$，则 $A$ 为 $E$ 的界点。
- 余集：$E^c=\mathbb{R}^2\setminus E$ 称为 $E$ 的余集。
- $E$ 的全体内点构成的集合称为 $E$ 的内部，记作 $\operatorname{int} E$。
- $E$ 的全体界点构成的集合称为 $E$ 的边界，记作 $\partial E$。
显然 \(A\) 只可能是内点、外点、界点中的一个。
\(E\) 的内点必定属于 \(E\)。
证明：取 $\delta$ 使得 $U\left(A;\delta\right)\subseteq E$，则 $A\in E$。
\(E\) 的外点必定不属于 \(E\)。
证明：取 $\delta$ 使得 $U\left(A;\delta\right)\cap E=\varnothing$，则 $A\not\in E$。
\(E\) 的界点可能属于 \(E\)，也可能不属于 \(E\)。
证明：显然。
\((E^c)^c=E\)
证明：显然。
\(E\) 的内点为 \(E^c\) 的外点，\(E\) 的外点为 \(E^c\) 的内点。
证明：显然。
- 聚点：若 $\forall \epsilon\gt 0$，恒有 $\mathring{U}\left(A;\epsilon\right)\cap E\neq\varnothing$，则 $A$ 为 $E$ 的聚点。
- $E$ 的全体聚点构成的集合称为 $E$ 的导集，记作 $E^d$（或 $E'$）。
- 孤立点：若 $A\in E$ 且 $A\not\in E^d$，则 $A$ 为 $E$ 的孤立点。
- $E\cup E^d$ 称为 $E$ 的闭包，记作 $\bar{E}$。
\(E\) 的聚点可能属于 \(E\)，也可能不属于 \(E\)。
证明：显然。
\(A\) 为 \(E\) 的聚点等价于：在 \(A\) 的任何邻域 \(U\left(A\right)\) 内都含有 \(E\) 中的无穷多个点。
证明：
充分性：若 $A$ 任何邻域内都含有无穷多个点，则任何去心邻域内显然存在 $E$ 中的点。
必要性：采用反证法。若 $A$ 的某个邻域 $U\left(A,\delta\right)$ 内仅含有 $E$ 中的有限个点，取与 $A$ 的欧几里得距离最近的点，设距离为 $\delta'$，则 $\mathring{U}\left(A,\delta'\right)$ 内不存在 $E$ 中的点，与定义矛盾。
孤立点必为界点。
证明：若 $A$ 为 $E$ 的孤立点，则 $\exist \delta\gt 0$，使 $\mathring{U}\left(A;\delta\right)\cap E=\varnothing$，显然符合界点定义。
内点必为聚点。
证明：显然。
不是孤立点的界点必为聚点。
证明：若 $A$ 不是孤立点且是界点，则 $\forall \epsilon\gt 0$，恒有 $\mathring{U}\left(A;\epsilon\right)\cap E\neq \varnothing$，即为聚点。
既非聚点，又非孤立点，则必为外点。
证明：若 $A$ 是界点显然矛盾。若 $A$ 不是界点，则 $\exist \delta\gt 0$，使 $\mathring{U}\left(A;\delta\right)\cap E=\varnothing$，由 $A$ 非孤立点知 $A\not\in E$，则 $A$ 为外点。
- 开集：若 $E$ 中每个点都为内点（即 $E=\operatorname{int}E$ 或 $E\cap \partial E=\varnothing$），则称 $E$ 为开集。
- 闭集：若 $E$ 的所有聚点都属于 $E$（即 $\bar{E}=E$）或 $E$ 没有聚点，则称 $E$ 为闭集。
- 开域：若非空开集 $E$ 具有连通性，即 $E$ 中任意两点之间都可用一条完全含于 $E$ 的有限折线相连接，则称 $E$ 为开域。
- 闭域：开域连同其边界所成的集合为闭域。
- 区域：开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合，统称为区域。
- 有界点集：若 $\exist r\gt 0$，使得 $E\subseteq U\left(O;r\right)$，则 $E$ 为有界点集。
- 无界点集：若 $E$ 不是有界点集，则 $E$ 为无界点集。
- 点集直径：$d\left(E\right)=\sup\limits_{P_1,P_2\in E}\rho\left(P_1,P_2\right)$ 定义为点集 $E$ 的直径，其中 $\rho\left(P_1,P_2\right)$ 为 $P_1,P_2$ 间的欧几里得距离。
- 覆盖：若一列点集 $\left\{D_n\right\}$ 满足 $E\in \cup D_n$（即 $\forall X\in E, \exist n, X\in D_n$），则 $\left\{D_n\right\}$ 称为 $E$ 的一个覆盖。
- 开覆盖：若 $E$ 的覆盖 $\left\{D_n\right\}$ 满足所有 $D_n$ 均为开集，则 $\left\{D_n\right\}$ 称为开覆盖。
- 紧致集：若 $E$ 的所有开覆盖都有有限子覆盖，则 $E$ 为紧致集，亦称紧集。
若 \(E\) 既有内点又有外点，则必有界点。
证明：设内点 $A\left(x_1,y_1\right)$，外点 $B\left(x_2,y_2\right)$，设 $0\lt \theta\lt 1,C_\theta\left(x_1+\theta\left(x_2-x_1\right),y_1+\theta\left(y_2-y_1\right)\right)$，$S=\left\{\theta \mid C_{\theta}\in \operatorname{int} E\right\}$，$\theta_0=\sup{S}$，则由反证法，$C_{\theta_0}$ 必然为界点。
有界点集必有外点。
证明：显然。
有界非空点集必有界点。
证明：若无界点，则不可能有内点，则所有点均为外点，点集为空集，矛盾。
若 \(E\) 既为开集又为闭集，则 \(E\) 为 \(\mathbb{R}^2\) 或 \(\varnothing\)。
证明：因为 $E$ 中的点都是内点，所以 $E$ 中无界点，所以 $E$ 无孤立点。若 $E$ 有不属于 $E$ 的界点，则不符合闭集定义，所以 $E$ 无界点。
因此 $E$ 仅有内点或仅有外点，即 $E$ 为 $\mathbb{R}^2$ 或 $\varnothing$。经检验均符合条件。
开域、闭域无孤立点。
证明：开域显然无孤立点；闭域由开域与边界取并得到，所以无孤立点。
闭域必为闭集；闭集不一定为闭域。
证明：
闭域必为闭集：因为闭域无孤立点，所以所有内点、界点都为聚点，且界点都在点集内，满足闭集定义。
闭集不一定为闭域：取两个不交闭域的并即可。
\(E\) 为有界点集等价于：存在矩形区域 \(\left[a,b\right]\times\left[c,d\right]\supseteq E\)。
证明：显然。
\(\rho\left(P_1,P_2\right)\le \rho\left(P_1,P_3\right)+\rho\left(P_2,P_3\right)\)
证明：平方后展开，由高中数学可得。
\(\partial E\) 恒为闭集。
证明：
若 $\left(\partial E\right)^d=\varnothing$，则显然成立。
否则 $\forall X\in \left(\partial E\right)^d$，$\forall \epsilon\gt 0$，$\exist Y\in \mathring{U}\left(X,\epsilon\right)\cap\partial E$，由 $Y\in\partial E$ 知 $\exist \delta\gt 0$，$\mathring{U}\left(Y;\delta\right)$ 内既有属于 $S$ 的点也有不属于 $S$ 的点。
因为 $Y\in\left(X,\epsilon\right)$，所以 $\exist\delta_0\lt \delta$，使得 $U\left(Y,\delta_0\right)\subseteq U\left(X,\epsilon\right)$，因此 $U\left(X,\epsilon\right)$ 内既有属于 $S$ 的点也有不属于 $S$ 的点。由 $\epsilon$ 的任意性，$X\in \partial E$。
\(E^d\) 恒为闭集。
证明：与上一个几乎完全相同，故略。
若 \(E\) 为闭集（即 \(E^d\subseteq E\)），则 \(\partial E\subseteq E\)。
证明：设 $X\in\partial E$，则 $X$ 为 $E$ 的孤立点或聚点。
若 $X$ 为孤立点，则 $X\not\in\partial E$；若 $X$ 为聚点，则 $X\subseteq E$。
若 \(\partial E\subseteq E\)，则 \(E^c\) 为开集（即 \(E^c=\operatorname{int}E^c\)）。
证明：显然有 $\operatorname{int}E^c\subseteq E^c$，因此只需证 $E^c\subseteq \operatorname{int}E^c$。 $\forall X\in E^c$，因为 $E$ 的所有内点、界点均属于 $E$，所以 $X$ 为 $E$ 的外点，所以 $X$ 为 $E^c$ 的内点，即 $X\in \operatorname{int}E^c$。
若 \(E^c\) 为开集（即 \(E^c=\operatorname{int}E^c\)），则 \(E\) 为闭集（即 \(E^d\subseteq E\)）。
证明：$\forall X\in E^d$，若 $X\not\in E$ 则 $X\in E^c$，则 $X$ 为 $E^c$ 的内点，为 $E$ 的外点，显然矛盾。
所以 $X\in E$，即 $E^d\subseteq E$。
\(E\) 为闭集等价于 \(\partial E\subseteq E\)，亦等价于 \(E^c\) 为开集。
证明：由上述三条可得。
开集的余集为闭集，闭集的余集为开集。
证明：由上一条可得。
设 \(\left\{X_n\right\}\) 为一个存在极限的点列，\(X_0\) 为极限，则 \(X_0\) 为点集 \(\left\{X_n\right\}\) 的聚点或 \(X_0\) 与某个 \(X_n\) 相重合。
证明：显然。闭域套定理：设 $\left\{E_n\right\}$ 是一列闭域，满足：
- $\forall n\in \mathbb{N}^{\star}, E_n\supset E_{n+1}$
- $d_n=d\left(E_n\right)$，$\lim\limits_{n\to +\infty}d_n=0$
证明：任取点列 $P_n$，$\forall n\in \mathbb{N}^{\star},P_n\in E_n$，则 $\forall n,m\in \mathbb{N}^{\star},\rho\left(P_n,P_m\right)\le d_{\min\left\{n,m\right\}}$，由柯西准则，$P_n$ 收敛。
存在性：设 $\lim\limits_{n\to +\infty}P_n=P_0$，任意取定 $n$，$m\gt n$ 时 $P_m\in E_m\subset E_n$，再令 $m\to +\infty$，因为 $D_n$ 为闭域，所以 $D_n$ 为闭集，因为 $P_0$ 为极限，所以 $P_0$ 为聚点或 $P_0$ 与某个 $P_x\left(x\gt n\right)$ 相重合，所以 $P_0\in D_n$。
唯一性：设 $P_0'$ 也满足条件，则 $\forall n\in \mathbb{N}^{\star},\rho\left(P_0,P_0'\right)\le d_n$，即 $\rho\left(P_0,P_0'\right)=0$，矛盾。
把上述闭域改为闭集仍成立。
证明：显然。
对上述闭域套，\(\forall \epsilon\gt 0,\exist N\in \mathbb{N}^{\star}\)，当 \(n\gt N\) 时 \(D_n\in U\left(P_0,\epsilon\right)\)。
证明：显然。
聚点定理：若 \(E\) 为有界无限点集，则 \(E\) 至少有一个聚点。
证明：由于 $E$ 有界，所以存在一个闭正方形 $D_1\supset E$。将 $D_1$ 分为四个小正方形，则存在一个小正方形内有无限个点，记为 $D_2$。
不断重复，由闭域套定理，存在一点 $P_0$ 属于所有正方形，显然 $P_0$ 为聚点。
任一有界无限点集必存在收敛子列。
证明：与上一个几乎完全相同，故略。
\(\forall a\gt 0,\left[-a,a\right]\times \left[-a,a\right]\) 为紧致集。
证明：采用反证法。若 $E=E_1=\left[-a,a\right]\times \left[-a,a\right]$ 不为紧致集，则取一列无限开集 $\left\{D_n\right\}$ 满足其任意有限子集均无法覆盖 $E$。将 $E$ 四等分后的四个闭正方形中必存在至少一个亦满足此性质，在此正方形 $E_2$ 中进行相同操作。
分割趋于无限时，由闭域套定理必存在唯一一点 $P$ 满足 $\forall n\in \mathbb{N}^{\star}, P\in E_n$。
取 $\left\{D_n\right\}$ 中包含 $P$ 的一个开集 $D_k$，则必然存在 $N$ 使 $n\gt N$ 时 $E_n\subset D_k$，则此时 $E_n$ 存在有限覆盖，矛盾。
紧致集的闭子集也是紧致的。
证明：设 $E$ 为紧致集，$E'$ 为 $E$ 的一个闭子集，$U=\mathbb{R}^2\setminus E'$ 为开集。
设 $\left\{D'_n\right\}$ 为 $E'$ 的一个开覆盖，则 $\left\{D'_n\right\}\cup U$ 为 $E$ 的一个开覆盖，由 $E$ 是紧致集知存在有限覆盖。
因为 $U\cap E'=\varnothing$，所以 $E'$ 存在 $\left\{D'_n\right\}$ 的一个有限子覆盖。
紧致集必为有界点集。
证明：设 $\forall n\in \mathbb{N}^{\star}, D_n=\left\{\left(x,y\right)\mid x^2+y^2\lt n^2\right\}$，则显然 $\left\{D_n\right\}$ 可覆盖所有紧致集。
由紧致集定义，存在 $\left\{D_n\right\}$ 的有限子集覆盖该紧致集，取所取 $n$ 的最大值可知紧致集有界。
紧致集必为闭集。
证明：采用反证法。设紧致集 $E$ 不是闭集，则存在界点 $X\not\in E$。
构造 $E$ 无限的开覆盖：以每个 $E$ 中的点的一个邻域，满足 $X$ 不在邻域中。则 $X$ 的任意大小的邻域均与此覆盖有交。
若此开覆盖存在有限子覆盖，则必存在一个 $X$ 的邻域与此子覆盖无交，由 $X$ 是界点可知矛盾。
有界闭集必为紧致集。
证明：设 $E$ 有界，则 $\exist a\gt 0, E\subset \left[-a,a\right]\times \left[-a,a\right]$。
由 $\left[-a,a\right]\times \left[-a,a\right]$ 知 $E$ 为紧致集。
\(E\) 为有界闭集等价于 \(E\) 为紧致集。
证明：由上述三条可得。
注：上述证明可推广到任意有限维欧几里得空间，即海涅-博雷尔定理。
\(E\) 为有界闭集等价于 \(E\) 的任一无穷子集均有聚点且聚点恒属于 \(E\)。
证明：
充分性：若 $E$ 为有界闭集，则 $E$ 的任一无穷子集 $E'$ 也有界。由聚点定理，$E'$ 有聚点，且 $E'$ 的聚点也为 $E$ 的聚点，由 $E$ 为闭集知恒属于 $E$。
必要性：
若 $E$ 不是有界集，则存在 $\left\{P_n\right\}$ 满足 $\forall n\in \mathbb{N}^{\star}, \rho\left(O,P_n\right)\gt n$，则 $\left\{P_n\right\}$ 无聚点。故 $E$ 为有界集。
若 $E$ 不是无穷点集，则 $E$ 无聚点。否则 $E$ 是自身的无穷子集，聚点恒属于 $E$。故 $E$ 为闭集。
