dilworth 定理 证明

最小链覆盖显然不小于最长反链。
下面证明可以构造出一组最小链覆盖使最小链覆盖等于最长反链。
归纳法证明。
设当前偏序集 \(P\) 中一个极大元素 \(u\)，删掉 \(u\) 后最长反链长度为 \(k\)，某个最小链覆盖为 \(\left\{C_1,C_2,\dots,C_k\right\}\)。
设 \(C_i\) 中所有元素中在某个最长反链中的元素集合为 \(S_i\)，显然 \(S_i\) 非空。令 \(x_i=\max\left\{S_i\right\}\)，\(x_i\) 所在的某个最长反链为 \(A_i\)。

定理：\(\forall 1\le i\ne j\le k,x_i\not\gt x_j\)。
证明：显然 \(\left|A_i\cap S_j\right|=1\)。令 \(y\in A_i\cap S_j\)，则 \(y\le x_j,x_i\not\gt y\to x_i\not\gt x_j\)。
推论：\(\left\{x_i\right\}\) 是一个最长反链。

如果不存在 \(i\) 使得 \(x_i\lt u\)，则最长反链长度增加 \(1\)，令 \(\forall 1\le i\le k, C'_i=C_i,C'_{k+1}=\left\{u\right\}\) 即可。
否则设 \(x_i\lt u\)，设 \(P'=\left\{\left\{z\in C_i,z\le x_i\right\}\cup\left\{u\right\}\right\}\)，则 \(P\setminus P'\) 中最长反链长度恰好为 \(k-1\)，所以最小链覆盖长度为 \(k-1\)，此时对于 \(\forall 1\le i\le k-1\)，令 \(C'_i\) 为 \(P\setminus P'\) 的最小链覆盖，再令 \(C'_k=P'\) 即可。