2022 年 7月随笔档案 - Crazy!!!

[SDOI2016]模式字符串（点分治+hash）

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posted @ 2022-07-27 10:44 Crazy!!! 阅读(1) 评论(0) 推荐(1) 编辑

[SDOI2015]排序

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posted @ 2022-07-25 20:24 Crazy!!! 阅读(3) 评论(0) 推荐(1) 编辑

[SDOI2015]约数个数和

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posted @ 2022-07-25 18:22 Crazy!!! 阅读(1) 评论(0) 推荐(1) 编辑

bs3508: 斐波那契（找规律）

摘要：题意

a [0] = a [1] = 1, a [i] = a [i - 1] * a [i - 2] * i

$a[0]=a[1]=1,a[i]=a[i-1]*a[i-2]*i$ 求

a [n]

$a[n]$ 的因子个数。思路：打个

a

$a$ 的表，上oeis一查。发现：

a [i] = \prod_{k = 0}^{n - 1} (n - k + 1)^{F i b (k)}

$a[i]=\prod\limits_{k=0}^{n-1}(n-k+1)^{Fib(k)}$ 然后求出每个质数的幂次，这个枚举

[2, n]

$[2,n]$ 每个数阅读全文

posted @ 2022-07-23 11:32 Crazy!!! 阅读(49) 评论(3) 推荐(3) 编辑

仓鼠的数学题（自然数幂和，伯努利数）

摘要：题意求

\sum_{k = 0}^{n} S_{k} (x)

$\sum\limits_{k=0}^nS_k(x)$ 这个多项式的每一项。思路直接代入伯努利数推柿子：

\sum_{k = 0}^{n} (S_{k} (x) + x^{k})

$\sum\limits_{k=0}^n(S_k(x)+x^k)$

= \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k} + \sum_{k = 0}^{n} a_{k} S_{k} (x)

$=\sum\limits_{k=0}^na_kx^k+\sum\limits_{k=0}^na_kS_k(x)$ 阅读全文

posted @ 2022-07-23 08:43 Crazy!!! 阅读(61) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【BZOJ2137】Submultiple

摘要：题意：

g (x)

$g(x)$ 为

x

$x$ 的因数个数。求

A n s = \sum_{x | M} g (x)^{K}

$Ans=\sum\limits_{x|M}g(x)^K$ 思路并不是很难的题。题目的输入给了提示，让你往质因子的贡献去想，而且

g

$g$ 因数个数这个函数，本身就等价于指数加一连乘积。那就是每个质数考虑贡献个数（有点生成函数的感觉），然后乘起来。柿子：阅读全文

posted @ 2022-07-22 19:35 Crazy!!! 阅读(40) 评论(1) 推荐(2) 编辑

「2017 山东一轮集训 Day7」逆序对

摘要：传送门题意给

n

$n$ ,

k

$k$ ,求出长度为

n

$n$ 的逆序对数恰好为

k

$k$ 的排列的个数。思路考虑从小到大插入

i

$i$ （偏序类题目常用方法：定序）。对逆序对数的贡献必为

[0, i - 1]

$[0,i-1]$ 。还有一个贡献和为

k

$k$ 的限制。考虑生成函数。 $\prod\limits_{i=1}^n \dfrac{1-x^i 阅读全文

posted @ 2022-07-21 20:43 Crazy!!! 阅读(51) 评论(0) 推荐(1) 编辑

[国家集训队] Crash 的文明世界 (stirling，换根dp)

摘要：题意传送门给一棵树求每个点

S (i) = \sum_{j = 1}^{n} d i s t (i, j)^{k}

$S(i)=\sum\limits_{j=1}^ndist(i,j)^k$ 。对10007取模。思路已知：

n^k=\sum\limits_{i\ge 0}\left{ \dfrac{k}{i} \right} n^{\underline{i}}

$n^k=\sum\limits_{i\ge 0}\left{ \dfrac{k}{i} \right} n^{\underline{i}}$ 直接推答案柿子：阅读全文

posted @ 2022-07-20 20:36 Crazy!!! 阅读(43) 评论(0) 推荐(2) 编辑

【BZOJ4318】OSU![期望dp]

摘要：题意长为

n

$n$ 的01串，每个字符为

1

$1$ 的概率为

A_{i}

$A_i$ ,否则为

0

$0$ 。每个全1极长为

x

$x$ 的贡献为

x^{3}

$x^3$ 。问期望贡献。思路不是很复杂，就是要知道

(x + 1)^{3} - x^{3}

$(x+1)^3-x^3$ 这种变化量，就需要设关于

x^{2}

$x^2$ 和

x

$x$ 的状态期望dp 设状态为

f 1 [i]

$f1[i]$ 表示第

i

$i$ 个为

1

$1$ 的期望长度，阅读全文

posted @ 2022-07-20 18:19 Crazy!!! 阅读(29) 评论(0) 推荐(2) 编辑

下降幂多项式转普通多项式[学习笔记]

摘要：思想：分治fft 构造

g_{0} = a_{0}

$g_0=a_0$ , 对于

i \in [1, n - 1]

$i\in [1,n-1]$

g_{i} = \frac{a_{i}}{a_{i - 1}}

$g_i=\dfrac{a_i}{a_{i-1}}$ 容易得到答案为：

\sum_{i = 0}^{n - 1} \prod_{j = 0}^{i} g_{j}

$\sum\limits_{i=0}^{n-1} \prod\limits_{j=0}^i g_j$ 因为分子的

a

$a$ 会被下一个分母

a

$a$ 抵消掉只剩系阅读全文

posted @ 2022-07-20 16:12 Crazy!!! 阅读(65) 评论(0) 推荐(1) 编辑

普通多项式转下降幂多项式[学习笔记]

摘要：思路：前置知识：分治fft（会求下降幂），多项式带余除法首先能想到的一种做法是，多项式快速求值，然后IFDT一下。但多项式快速求值我都用分治fft……所以也可以用下面这种：虽然是

O (n l o g^{2} n)

$O(nlog^2n)$ 但常数小，而且好些。注意一下节点开动态空间不要越界，而且要注意一下各种上界 $F(x)=\s 阅读全文

posted @ 2022-07-20 14:42 Crazy!!! 阅读(77) 评论(0) 推荐(1) 编辑

下降幂多项式乘法[学习笔记]

摘要：应用背景两个下降幂多项式相乘思路易得思路：转为普通多项式+乘法+转回来（X 复杂且慢，浓浓的重工程味）这里有一个好写且快的思路：直接转为下降幂点值多项式（利用下降幂单项式系数的EGF易转exp）

G (x)

$G(x)$ $=\sum\limits_{i\ge 0}F[i]\dfrac{x^i}{i! 阅读全文

posted @ 2022-07-20 10:35 Crazy!!! 阅读(111) 评论(0) 推荐(1) 编辑

泰勒展开式（转载）[学习笔记]

摘要：转载阅读全文

posted @ 2022-07-20 08:45 Crazy!!! 阅读(309) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【SDOI2014】旅行

摘要：题意传送门思路树剖+动态开点线段树（每种宗教建一棵）改宗教

x

$x$ 改为

y

$y$ ，把

r t_{x}

$rt_x$ 上对应的叶子节点删了（值清空），再insert一个新的。 code: 点击查看代码 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=2e 阅读全文

posted @ 2022-07-16 17:12 Crazy!!! 阅读(29) 评论(0) 推荐(1) 编辑

Cf1705E. Mark and Professor Koro

摘要：题意：给长度为

n

$n$ 的数列

a

$a$ ，每次可以删除两个相同的数

x

$x$ ,加入

x + 1

$x+1$ ，此时

n - -

$n--$ 。问你能得到的最大的数是多少。为了增加难度，给了你

q

$q$ 次询问，每次修改一个数（对之后的询问都奏效），再问你同样的问题。思路：首先答案跟数列

a

$a$ 的排列顺序无关，跟不同值的个数有关。也容易想到阅读全文

posted @ 2022-07-16 15:49 Crazy!!! 阅读(65) 评论(1) 推荐(2) 编辑

[JOISC2020] 首都

摘要：传送门题意（建议看原题面）

n

$n$ 个点，

k

$k$ 种颜色，每个点有一个颜色

c_{i}

$c_i$ 。一次操作可以合并两种颜色。问最少多少次操作可以使存在一种颜色，把该颜色的点提取出来是联通的，换句话说该颜色的点两两之间（路径）不经过其它颜色。思路先口胡一下我不太想写的倍增优化建图+Tarjan，贺了firm的代阅读全文

posted @ 2022-07-15 20:46 Crazy!!! 阅读(46) 评论(0) 推荐(1) 编辑

「JOISC 2020 Day1」建筑装饰 4

摘要：题意：

2 n

$2n$ 个位置，给长度为

2 n

$2n$ 的序列A,B。问每一位置在

A

$A$ 和

B

$B$ 中任选一个，恰好

n

$n$ 个A和B，得到不降的序列

C

$C$ 的方案（多种任意输出一种）。思路: 引理猜了一个结论：能够造出C的A的个数是连续的。和CF之前打过一道题，一样的技巧。这里给简略构造证明：处理出A个数最少(A 阅读全文

posted @ 2022-07-15 20:20 Crazy!!! 阅读(49) 评论(0) 推荐(2) 编辑

近期小总结2（7.9~7.15）

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posted @ 2022-07-15 17:25 Crazy!!! 阅读(9) 评论(0) 推荐(1) 编辑

[JOISC2020] 星座 3

摘要：题意传送门大概是让构造使得不存在矩形不包含白楼房，却包含至少两颗星星，并使得删除星星的

c

$c$ 和最小。思路同学说这种矩形问题，考虑笛卡尔树。两个星星能共存取决于中间

a

$a$ 的最大值。建出大跟堆笛卡尔树。方便处理，把问题变为选出星星的和最大。假如以笛卡尔树中一个节点作为最大值

v

$v$ ，因此相当阅读全文

posted @ 2022-07-15 15:04 Crazy!!! 阅读(83) 评论(0) 推荐(1) 编辑

「JOISC 2020 Day4」治疗计划

摘要：题意：有

n

$n$ 个房屋，有

m

$m$ 种治疗方案。一开始所有人都得了病。每种治疗方案给出：

t_{i}, l_{i}, r_{i}, c_{i}

$t_i,l_i,r_i,c_i$ 。表示第

t_{i}

$t_i$ 天晚上选择治疗

[l_{i}, r_{i}]

$[l_i,r_i]$ 的人花费

c_{i}

$c_i$ 。每天早上得病的人都会往左右相邻传染一个。问把所有人病治好的最小花费。思路：治好相当于选择的每个方阅读全文

posted @ 2022-07-15 14:37 Crazy!!! 阅读(104) 评论(0) 推荐(2) 编辑

[SDOI2013]泉

摘要：题意给

n

$n$ 个年份，每个年份有

6

$6$ 个水流指数

A (i, 1), A (i, 2)

$A(i,1),A(i,2)$ 到

A (i, 6)

$A(i,6)$ 。问有多少对年份满足恰好有

k

$k$ 个水流指数相同。思路容斥+二项式反演转为钦定

i

$i$ 个相同，其余随便放（也就至少的意思）

2^{6}

$2^6$ 枚举相同的集合，我本来是把对应位取出来排序的，但太慢了。哈希挂链阅读全文

posted @ 2022-07-14 14:30 Crazy!!! 阅读(31) 评论(0) 推荐(1) 编辑

[SDOI2013] 淘金（数位dp+堆）

摘要：description

f (x)

$f(x)$ 表示

x

$x$ 的各个数位的乘积。给

N * N

$N*N$ 的矩阵每个矩阵上都有一块金子，一次变化后，金子从

(i, j)

$(i,j)$ 变到

(f (i), f (j))

$(f(i),f(j))$ 。问一次变化后矩阵上金子个数前

k

$k$ 大的和为多少。

N <= 10^{12}

$N<=10^{12}$ solution 首先发现题目最终要的性质，

N

$N$ 阅读全文

posted @ 2022-07-13 22:52 Crazy!!! 阅读(40) 评论(0) 推荐(1) 编辑

[SDOI2013]直径（树上问题）

摘要：description 给一棵树，问你直径长度与被所有直径经过的边的数量。 solution 直径的长度以及直径的路径可以由两遍dfs求得与记录。易发现，被所有直径经过的边集可以构成连续一段的路径。反证：如下图：因此按上面所说找到任意一条直径路径后，找满足答案路径（边集）的左右断点。设直径（阅读全文

posted @ 2022-07-13 15:31 Crazy!!! 阅读(34) 评论(1) 推荐(1) 编辑

[SDOI2013]方程

摘要：description 给定方程

x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n} = m

$x_1+x_2+...+x_n=m$ 和

n_{1}

$n_1$ ,

n_{2}

$n_2$ 对于

i \in [1, n_{1}]

$i\in [1,n_1]$ :

x_{i} \leq a_{i}

$x_i\le a_i$ 对于

i \in [n_{1} + 1, n_{1} + n_{2}]

$i\in [n_1+1,n_1+n_2]$ ：

x_{i} \geq a_{i}

$x_i\ge a_i$ 问正整数结的个数且

p <= 437367875

$p<=437367875$ （不一定是质数），阅读全文

posted @ 2022-07-13 12:20 Crazy!!! 阅读(28) 评论(0) 推荐(1) 编辑

[SDOI2013] 森林（主席树+启发式合并）

摘要：传送门 description 给一个森林，每个点有权值。在线(每次每个变量xor lastans) 操作如下： Q x y k:查询x到y的路径上第k小的权值（保证x到y至少k个点） L x y:将x和y连边。 solution 从Q和L分别可以猜测需要用到主席树和lct。主席树是我一直不太熟的阅读全文

posted @ 2022-07-13 11:52 Crazy!!! 阅读(25) 评论(0) 推荐(1) 编辑

CF11D A Simple Task[求无向图简单环个数，状压dp]

摘要：题意：求无向图简单环个数（简单环为没有重复点、边的环）该无向图无重边自环。思路不是很难的状压，但是我就是思维僵化想不到。环可以考虑一条路径，最后把起点和终点相连时，贡献答案为路径方案数。关键是一个环，算重次数相当于圆排列，而且还是项链需要除以

2

$2$ (这个最后除

2

$2$ 就好了)。如何排列转阅读全文

posted @ 2022-07-12 21:40 Crazy!!! 阅读(44) 评论(0) 推荐(1) 编辑

[学习笔记]李超线段树

摘要：这个之前学过的，结果我发现我忘了，怕之后再忘，我就再写一下吧。毕竟这个东西非常有用(好写)可以代替cdq/平衡树+斜率优化，来优化dp 流程数据结构本质是一棵线段树，每个节点都储存了

b s t []

$bst[]$ 。

b s t [l, r]

$bst[l,r]$ 表示覆盖该点范围的在

m i d

$mid$ 处取最值的线段。你会想：维护这个有什么用？每个阅读全文

posted @ 2022-07-12 18:23 Crazy!!! 阅读(30) 评论(0) 推荐(1) 编辑

[学习笔记]拉格朗日反演

摘要：拉格朗日反演可以互推一对多项式复合逆，拉反通常起到将函数自、因变量交换，简化柿子的作用。定义复合逆：

F (G (x)) \equiv G (F (x)) \equiv x (\mod x^{n})

$F(G(x))\equiv G(F(x))\equiv x\pmod {x^n}$ 则称

F

$F$ 和

G

$G$ 互为复合逆，记作

G (x) = F^{(- 1)} (x)

$G(x)=F^{(-1)}(x)$ 引理：\([x^{-1 阅读全文

posted @ 2022-07-11 20:53 Crazy!!! 阅读(65) 评论(0) 推荐(1) 编辑

[学习总结]近期小总结(6.20~7.8)

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posted @ 2022-07-08 18:39 Crazy!!! 阅读(6) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[学习笔记]可爱的生成函数

摘要：前置知识：多项式全家桶简介定义（组合对象）：满足某一性质的树、图、串等可数的对象。定义（组合类）：同一性质的组合对象组成的集合，通常用花体字母如

A

$\mathcal{A}$ 表示。定义（普通生成函数 OGF）：$A(x)=\sum\limits_{a\in\mathcal{A}}x^{|a|}= 阅读全文

posted @ 2022-07-05 17:09 Crazy!!! 阅读(104) 评论(8) 推荐(1) 编辑

CF632E Thief in a Shop [背包+思维？]

摘要：多项式练习题里面连续两道题都能打背包，当然不会去用多项式了。 decription

n

$n$ 个物品，完全背包（每个物品无限个），问你取恰好

k

$k$ 个可以得到的体积有哪些。 solution 从背包的思路讲，取的个数只能用值表示，显然值表示的是取到对应体积的最小个数。不过最少个数小于

k

$k$ 也有可能恰好取阅读全文

posted @ 2022-07-04 16:07 Crazy!!! 阅读(37) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【BZOJ3513-MUTC2013】idiots[生成函数+容斥]

摘要：题意：给一些长度的木棍，问你构成三角形的方案数。

n <= 10^{5}

$n<=10^5$ 思路：计数问题。三角形构成条件中：两短边和大于第三边即可。可以用生成函数（fft乘法）统计出所有由两条（不同）边构成的长度和及其方案数。然后乘上比该和小的总个数。会发现，对于三条边（三元组），如果构成三角形会被算

3

$3$ 次，阅读全文

posted @ 2022-07-04 14:53 Crazy!!! 阅读(40) 评论(0) 推荐(0) 编辑

SP8372 Triple Sums [生成函数+容斥]

摘要：description 传送门给

n

$n$ 个数，让你输出所有可能的由三个不同下标的数得到的和，以及构成该和的方案数。 solution 很容易想到

A = c n t_{0} x^{0} + c n t_{1} x^{1} + c n t_{2} x^{2} . . .

$A=cnt_0x^0+cnt_1x^1+cnt_2x^2...$ 卷三次，但要减掉存在至少两个相同下标的方案。因此构造$B=cnt_0x^0+cnt_1x 阅读全文

posted @ 2022-07-04 14:43 Crazy!!! 阅读(40) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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