[学习笔迹] 竞赛图

参考

定义和性质

• 定义：$n$个点的有向图，两两间存在一条有向边。（可以形象地理解为循环赛两两间胜负状态）
• 性质1：一定存在一条哈密顿回路（归纳法可证明）
• 性质2：缩点后是一条链（每个点往后面所有点连边）（由性质1可证）
  • 推论：$x$的出度大于$y$，则$x$可到$y$。
• 性质3：竞赛图的每个强连通分量，设大小为$k$，存在大小为$[3,k]$的简单环。（归纳法）

应用

• bsoj 5744：先用到性质$3$把存在的环长限制转化为对竞赛图强连通块大小的限制，然后性质$2$DP链即可。
• 射命丸文的笔记： 竞赛图对应强连通分量方案数。