[学习笔记] KM最大权匹配

oi不需要证明，确实因为时间有限，还有脑力有限，咳咳~就直接给结论和算法流程了
二分图有两类点，这里称$X$类，和$Y$类。

• 顶标：$ex$和$ey$，分别表示$x$类点和$y$类点的顶标。此算法全程任意边$(u,v)$满足$ex(u)+ex(v)\ge len(u,v)$。

• 相等子图：由满足$ex(u)+ey(v)=len(u,v)$的边构成的子图。

• 性质：相同子图存在原图的完美匹配，则一定是最大完美匹配。

• 目标：满足 $ex(u)+ex(v)\ge len(u,v)$ 的情况下调整顶标，加入边到相等子图中找增广路，使得得到原图的完美匹配。

• 算法流程：我们在匈牙利算法找增广路的背景下设计该算法。
  1.从$X$中每个点出发，找增广路。
  2.找到增广路则结束
  3.否则，通过改顶标加入一边。回到$2$。
  流程很简单，不过怎么改顶标。
  首先明确要找的边从$X$已经遍历到的点连向$Y$还未遍历到的点。
  因此可以将遍历到的边 $ex(u)-=\Delta$，$ex(v)+=\Delta$，这样遍历到的边不会改变但满足上面的边会减少$\Delta$。
  综上加入此类边中$ex(u)+ex(v)-len(u,v)$最小的边即可。
  而查询最小$O(n^2)$可以用slack优化至$O(n)$，$slack$维护$Y$中未遍历到的每个点到所有$X$中遍历到的点的$min(ex(u)+ex(v)-len(u,v))$
  每次加边导致$X$中有新点被遍历，直接$O(n)$更新，查询$slack$扫一遍找新边也是$O(n)$的。
  流程结合代码看一下就好了，注意改顶标时别漏了起点（从$0$开始遍历）。
  由于每次是加入一条边，所以直接用bfs迭代的思想即可（写的也不像bfs）。
  看代码显然：$O(n^3)$

• code

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll inf = 1e18;
const int N = 505;

int pre[N], link[N], n;
ll ex[N], ey[N], mp[N][N], slack[N];
bool visy[N];

void KM() {
	for(int s = 1; s <= n; s++) {
		for(int i = 1; i <= n; i++) {slack[i] = inf; pre[i] = 0; visy[i] = 0;}
		int x, y = 0; link[y] = s;
		while(1) {
			x = link[y]; visy[y] = 1;
			ll dta = inf, ny;
			for(int i = 1; i <= n; i++) {
				if(visy[i]) continue;
				ll w = ex[x] + ey[i] - mp[x][i];
				if(slack[i] > w) {slack[i] = w; pre[i] = y;}
				if(dta > slack[i]) {dta = slack[i]; ny = i;}
			}
			for(int i = 0; i <= n; i++) {		//link0=s 
				if(visy[i]) {ex[link[i]] -= dta; ey[i] += dta;}
				else {slack[i] -= dta;} 
			}
			y = ny;
			if(!link[y]) {break;}
		}
		while(y) {link[y] = link[pre[y]]; y = pre[y];}
	}
	ll res = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++) res += mp[link[i]][i];
	printf("%lld\n", res);
	for(int i = 1; i <= n; i++) {printf("%d ", link[i]);}
}

int main() {
	int m; scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; i++) {for(int j = 1; j <= n; j++) mp[i][j] = -inf; ex[i] = -inf;}
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		int u, v; ll w; scanf("%d%d%lld", &u, &v, &w);
		mp[u][v] = max(mp[u][v], w);
		ex[u] = max(ex[u], w);
	}
	KM();
	return 0;
}

• 非完美匹配
  • 首先保证$|X|\le |Y|$
  • 一定要是完美匹配，首先$|X|=|Y|$，虚边设$-inf$，$X$中每个点出发如果$min$到的为$-inf$，也就是无边那就无解。
  • 最大匹配就行：虚边都是$0$。