[学习笔记] 回文自动机~PAM

算法

• 每个结点代表一个本质不同回文串。
  $tr[u][c]$：表示回文串$u$两边加$c$字符所构成的回文串。
  $fail[u]$：回文串$u$的最长严格后缀回文串。
• 增量法每次加入$i$前缀里最长回文串，可以证明次长的都在前面的前缀里出现过了，也就是说本质不同回文串（节点数）是$O(n)$级别的。
  最长回文串通过前缀$i-1$在fail树上往上跳找到。
  求该串的fail也可以通过$i-1$的fail往上跳找到。
  然后就没有了，比SAM简单很多。

code

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 5e5 + 5;
char s[N];
int n;
struct PAM {
	int len[N], sz[N], tr[N][27], fail[N], nd, lst, tot;
	PAM() {len[0] = 0; len[1] = -1; fail[0] = 1; nd = lst = 1;}
	int gt_fail(int u) {
		while(s[tot] != s[tot - 1 - len[u]]) {
			u = fail[u];
		}
		return u;
	}
	int Insert(int c) {
		tot++;
		int p = gt_fail(lst);		//后缀最大回文串
		if(!tr[p][c]) {
			++nd;
			len[nd] = len[p] + 2;
			fail[nd] = tr[gt_fail(fail[p])][c];
			sz[nd] = sz[fail[nd]] + 1;
			tr[p][c] = nd;
		}
		return sz[lst = tr[p][c]];
	}
}P;
int ans;
int main() {
	scanf("%s", s + 1);
	n = strlen(s + 1);
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		if(i > 1) s[i] = (s[i] - 97 + ans) % 26 + 97;
		ans = P.Insert(s[i] - 'a');
		printf("%d ", ans);
	}
	return 0;
}

最小回文划分

oi-wiki
暴力DP显然是$n^2$的。
性质: 回文串fail树祖先路径上回文串长度划分成的等差数列个数是$log$级别的
所以考虑把一个等差数列的合并在一起，定义：$diff(u)=len(u)-len(fail(u))$，$jmp(u)$为fail树祖先上第一个$diff$与其不等的，也是$u$所在的等差数列的最后一项。$g(u)=\min\limits_{diff(v)=diff(u)} f(v)+1$
查询每次往上跳$jmp$，合并$g$信息。
同时修改$g$，巧妙的是：由于fail是border，上次遍历到$fail_u$时贡献的dp值刚好是$u$的dp值（错位），再补上$jmp(u)$的贡献即可。

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f[0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
	for(int u = pos[i]; u > 1; u = jmp[u]) {
		g[u] = f[i - len[jmp[u]] - diff[u]];
		if(diff[fail[u]] == diff[u]) g[u] = (g[u] + g[fail[u]]) % mod;
		if(i % 2 == 0) {f[i] = (f[i] + g[u]) % mod;}
	}
}