[学习笔记] DP优化

决策单调性优化

二分队列

反过来决策$j$所对应的$i$也是单调的。
设$lim(j)$为决策为$j$的最小$i$。
队列里存有意义的决策。
DP过程：

• 求$i$的决策，弹队头。
• 对尾弹掉不如$i$的决策，更新$i$的前驱的lim，把$i$插进去。
  方便可以写一个Search函数，查询两个决策对应状态集的分界点。

code:

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int Search(int x, int y) {
	int l = y + 1, r = n, bst = y;
	while(l <= r) {
		int mid = (l + r) >> 1;
		if(calc(mid, x) <= calc(mid, y)) {bst = mid; l = mid + 1;}
		else r = mid - 1;
	}
	return bst;
}
Q[hd = tl = 1] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
	while(hd < tl && lim[hd] < i) hd++;
	f[i] = calc(i, Q[hd]), pos[i] = Q[hd];
	while(hd < tl && lim[tl - 1] > Search(Q[tl], i)) {tl--;}
	lim[tl] = Search(Q[tl], i); Q[++tl] = i;
}

$w(i,j)$的四边形不等式

• 四边形不等式：满足交<并
• 满足四边形不等式则满足决策单调性：$pos(i-1,j) \le pos(i,j) \le pos(i+1,j)$。
  所以dp时$pos(i,j)$的决策从$[i,j]$变为了$[pos(i-1,j),pos(i+1,j)]$
  复杂度：$O(n^2)$。因为长度为$L$的由$L-1$更新，长度为$L$状态枚举决策点总复杂度为$O(n)$。因为$pos(x,y)\in [pos(x-1,y),pos(x+1,y)]$，接着$pos(x+1,y+1)\in [pos(x+1,y),pos(x+2，y+1)]$...

斜率优化

限制要求还是挺多的
先剔除无关紧要的常数项。
柿子含三个部分，只跟$i$有关，只跟$j$有关，与$i$,$j$都有关（如$i*j$）。
此时把柿子化成一次函数（直线）：$y=k*x+b$形式。

• $y$：只跟$j$有关

• $x$: $i$，$j$骨肉相连中的$j$部分

• $k$：同上的$i$部分

• $b$：只跟$i$有关
  如目的是让$f(i)$最小，即直线的截距尽量小。
  发现决策是若干个已经确定的$(x,y)$节点，然后斜率$k$也确定，即问题转化为了用固定斜率$k$的直线去切节点使得截距最小。
  画画图知道如果是截距最小队列维护下凸壳，否则上凸壳。
  然后凸壳上连线的斜率从左往右是单增的，而所切的点往左连的边斜率$<k$，右连的斜率$>k$，感觉像一个分界处把。

• 必要前提是$x$单增，这样才可维护凸包。

• 如果$k$单增可以单调队列$O(n)$，否则就每次去二分啦，要带一个$log$。
  code

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Q[hd = tl = 1] = 0; dp[0] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
	while(hd < tl && Y(Q[hd + 1]) - Y(Q[hd]) <= K(i) * (X(Q[hd + 1]) - X(Q[hd]))) hd++;
	int j = Q[hd]; dp[i] = dp[j] + _pw(a[i] - a[j]) + m;
	while(hd < tl && (Y(i) - Y(Q[tl])) * (X(Q[tl]) - X(Q[tl - 1])) <= (Y(Q[tl]) - Y(Q[tl - 1])) * (X(i) - X(Q[tl]))) tl--;
	Q[++tl] = i;
}

ps.我跳过多次的坑：求斜率除法要考虑精度，因此比较大小同乘分母可以直接整数比较大小，但是要注意不等式同乘负数要变号。