网络流の模型总结

网络流真的是很不错的算法，因为它富有想象力

最小路径覆盖问题

考虑把原问题等价一种网络流的最终态。
假设初始每个点单独为一条路径。考虑合并路径（前提为首尾相接）。路径数为$n$减合并次数。
把每个点拆成入点$x_i$和出点$y_i$，把有向边$(u,v)$，连边：$x_u$到$y_v$。如果这条边有流量意味着选择了这条边，同时也限定着每个点只能作一次出点和一次入点。

方格取数问题（不共存条件的最小割问题）

给了很多对不共存的位置，每个位置有权值。问满足条件下最大总权值。
可以先全选，考虑删最少权值使得满足条件。
而这道题有特殊性：不共存的点可以分别存在于两部分。比如说将不共存的每对连边，可以构成二分图。
因此两组点分别向起点和终点连边，边权权值。共存的点连边，边权inf。

最长不下降子序列问题

网络流模拟动态规划
求$i$为起点的最长不降子序列长度 $f(i)$。设最长上升子序列为$K$。
同样每个点拆成两个点，中间边权为选的次数上限。
起点连向$f(i)=1$的点，同理$f(i)=K$的连向重点。
然后斜着连转移边。

【SRM577】BoardPainting

用最少数目的直上直下的不重叠联通块覆盖棋盘。
转化：合并次数尽量多。限制（不能出现拐着的棋盘）
构三类点：棋盘上的块，横着相邻，纵着相邻。
相邻合并的节点连接所合并的两个点，边权都为inf。
然后$S$连横，纵连$T$。
最后会割掉不合并的相邻块，且使得$S$、$T$不连通（不连通限制了一个点要么被横着合并，要么被纵着合并）

割成两类，限制类别给贡献（CF311E）。

限制点集里的点都为$S$类，建立一个该限制的虚拟节点，连起点（权值为不满足的代价），连向限制点集合边权为inf。
每个点本身连向自己所属的类，边权为$v_i$。

最大权闭合子图

• 闭合子图：满足点集里每个点若选择了，它出边所到的点也必须选择的图
• 求解：最小割
  将$S$连每个正权结点，边权为正权。负权连$T$，边权为点权绝对值。其它表示逻辑关系的边权为inf。
  一组割集，把图分成两部分，发现跟$S$联通的部分为一个闭合子图，所以割集跟闭合子图构成了双射。
  $ans=正权和-|负权和|=所有正权和-(不选的正权和+负权和)=所有正权和-最小割集和$