• bitset优化可行性背包

  • 对称思想
    如大于某值的和小于某值的个数相同，用等于某值的来推。
    dp状态中\((i,j)\)，可以换成\((j,i)\)。
    正反对称：如正向得到了多少，反向就减少了多少。

  • 离散化区块
    针对一些给定上下界的计数问题。可以把区间端点离散化，然后分成约\(2n\)个块，保证每个区间由块构成。

  • 数列可重
    首先考虑一下强制把相同的值定一个大小关系（当做不同的值）处理可不可以。

  • 树的中心（直径的中点）在边上。
    每条边\((u,v)\)拆成\((u,mid)\)和\((mid,v)\)。当然两点间距离翻倍。

  • 构造题

    • 有时候不需要去想可行的条件。只需要找不可行的，可行的部分直接通过构造证明。
    • 一定从边界入手，想出方案也可在边界处验证。
    • 必要性的会更好找，找到后再证明充分。

  • 求方案数时：操作方案不好求（有时候要去重），求最终形态的方案，可以考虑将最终形态进行双射成另一个模型进行统计。

  • 相对运动

  • 做题要看子任务！！以及特殊性质（如特殊数值，奇偶性）

  • 问的\(k\)次操作的答案，可以考虑能否在\(k-1\)次操作下调整。

  • 最大流=最小割

  • 三联通（图上两点间最多有三条不相交的路径）要满足删除每条边后两点都在同一边双里。

  • 组合数转组合意义（经常可以dp）

  • 位运算：与、或、异或之间可相互转换。

  • 数列操作考虑差分数组。

  • 搜索注意复杂度与减枝，有时候看起来很明显的剪枝，如空集一定要考虑。（诈骗题）

  • 异或和转化为求和：考虑每个值出现次数的奇偶性。

  • 从维度的角度分析问题，尤其是二维可以画函数关系图像。

  • 线段树大小扩到\(2\)的次幂，这样每一段都是\(2\)的次幂，可以利用倍增预处理的信息。

  • 【卡常】如果多次以同样顺序dfs，可以跑一遍数组存下dfs序，之后直接遍历数组会快很多。

  • 字典序最小等价于优先最大的值填入尽量靠后的位置。

  • 倍增：求第一个到某临界：转化为求最后一个不到临界的状态，二进制从高到低位贪心。

  • 每个点出发的所有最长路径都必经过同一个点。（直径的中点）

  • 时光倒流（正难则反）

  • 目的性优化（复杂度）：只走能达到目的的状态

  • 任意结点\(儿子数 \ge 2\) 的树上， \(点数 \le 2*叶子数\)

  • 简化图：按某度数限制删点或缩点，如有向图将出度为 \(1\) 的点与所连点合并。

  • [反悔贪心] 多个属性，先全选某一个属性，其余的属性加上已选的反悔值，这样就少了一个属性。

  • [warning] mx赋初值有时候是-inf不是0。

  • [贪心排序] 邻项交换。
    目标：使得下标 \(i<j\) 的满足某不等式，该不等式符号两边分别只与 \(i,\ j\) 其一变量有关，可以等价于排序。
    运用：\(i<j\) 如果满某如上不等式，就要交换，即可用上述排序得到最优序列。（正确性:其余序列因为可以通过交换达到更大都不及最优）
    e.g. 两个属性 \(y\) 和 \(z\)，得到目标序列满足所有选 \(y\) 属性的位置都在 \(z\) 之前。
    使得 \(i<j\), 满足 \(y_i+z_j>y_j+z_i\)，即按照 \(y-z\) 排序。

  • 多维偏序（大小关系）：先按某一维排序

  • 枚举法！！！（老是忘记）

  • 推性质，用数学公式表示时，敢于设变量。

  • 设dp状态，可设前缀答案，也可以强制最后选定点。

  • 树上只需要某些关键点或者把点分成很多类分开算的问题，考虑虚树

  • 求解等概率出现的某种情况，可求解总情况乘上概率。