[学习笔记] 基础数论合集

欧拉定理 & 费马小定理

• $(a,p)=1$，则 $a^{\varphi(p)} \equiv 1 \pmod{p}$
• 若$p$为质数，$(a,p)=1$，则 $a^{p-1}\equiv1\pmod{p}$

ex_gcd

求解形如：$ax+by=gcd(a,b)$
由于$gcd(a,b)=gcd( b, a\ mod\ b)$
可以递归下去求出$gcd( b, a\ mod\ b)$的解。
然后$gcd$值相等，等式两边化成同样$ax+by$的形式，反推出该层的解。
通解$x=x_0+t*\frac{b}{(a,b)}$，$y=y_0+t*\frac{a}{(a,b)}$

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ll ex_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
	if(!b) {x = 1, y = 0; return a;}
	ll d = ex_gcd(b, a % b, x, y);
	ll tmp = y;
	y = x - a / b * y; x = tmp;
	return d;
}

威尔逊定理

若$p$为质数，$(p-1)! \equiv p-1 \pmod{p}$

中国剩余定理

• CRT
  模数间两两互质。
  令$M=\prod_{i=1}^{n}p_i$
  $m_i=M/p_i$。
  每个数对答案累加$m_i*m_i^{-1}*a_i$。
  因为乘上$m_i$使得模除了$p_i$以外的模数，余数都是零，也就是说对其余柿子没有影响。
  然后后面就是满足该柿子。

• ex_CRT
  首先能想到$i$个柿子合并的模数为所有柿子模数的LCM，设前$i$个柿子合并的LCM为$lcm_i$。
  从前往后合并。若前$k-1$个柿子求出一个解为$x$，通解为$x+t*lcm_{k-1}$。
  代入满足第$k$个柿子得：$x+t*lcm_{k-1}\equiv a_k \pmod{p_i}$
  线性同余方程组，用ex_gcd解出$t$。
  因此就得到前$k$个柿子的答案了。

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long long ex_crt() {
	ll lcm = p[1], ans = a[1];
	for(int i = 2; i <= n; i++) {
		ll c = a[i] - ans, x, y;
		ll d = ex_gcd(lcm, p[i], x, y);
		ll bg = p[i] / d;
		if(c % d) {return -1;}
		x = x * (c / d) % bg;
		ans += lcm * x;
		lcm = lcm * bg;
		ans = (ans % lcm + lcm) % lcm;
	}
	return ans;
}

扩展欧拉定理

降幂用

• $(a,p)=1$时，$a^b=a^{b\ mod\ \varphi(p)}$
• $(a,p)\not=1$ 且 $b\ge \varphi(p)$ 时，$a^b=a^{b\ mod\ \varphi(p)+\varphi(p)}$