对称理论

初始局面可以分成两个相同“子局面”，\(S=A+A\)，而先手做什么后手都可以效仿，因此先手为P。

分解理论

  • 简化：将\(S=A+C+C\)通过对称理论转化为\(A\)的过程称为简化，不能简化的称为最简局面。
  • N/P运算规律
    \(N+P=P+N=N\)
    \(P+P=P\)
    \(N+N=N/P\)，此时要尽量拖延整体局面达到\(P\)的情况，也就是（\(P+P\)）。

SG函数

为了区别以上所说的不同\(N\)局面，定义SG函数，感性理解含义为到\(SG=0\)（P局面）的最长路。

  • N/P：\(SG=0\)表示P，否则为N。
  • 转移：一个局面的SG值由后继可转移到的局面的SG值\(Mex\)而来。
  • 游戏和：该类可以用上分解/对称理论的问题，存在多个相互独立子局面的SG值为分别的SG值异或起来（也是上面分解理论N/P运算规律可理解为SG值的异或），此性质大大简化了求解的效率。

策略

  • 找子局面（问题）
  • 找N/P，SG函数的规律

Nim游戏

每堆还剩\(i\)个，\(SG(i)=i\)。

Nim-k Game

每次最多可选取\(k\)堆。
N/P判断：为P，当且仅当所有二进制位上，\(1\)的个数均为\((k+1)\)的倍数。