博弈论[学习笔记]

对称理论

初始局面可以分成两个相同“子局面”，$S=A+A$，而先手做什么后手都可以效仿，因此先手为P。

分解理论

• 简化：将$S=A+C+C$通过对称理论转化为$A$的过程称为简化，不能简化的称为最简局面。
• N/P运算规律
  $N+P=P+N=N$
  $P+P=P$
  $N+N=N/P$，此时要尽量拖延整体局面达到$P$的情况，也就是（$P+P$）。

SG函数

为了区别以上所说的不同$N$局面，定义SG函数，感性理解含义为到$SG=0$（P局面）的最长路。

• N/P：$SG=0$表示P，否则为N。
• 转移：一个局面的SG值由后继可转移到的局面的SG值$Mex$而来。
• 游戏和：该类可以用上分解/对称理论的问题，存在多个相互独立子局面的SG值为分别的SG值异或起来（也是上面分解理论N/P运算规律可理解为SG值的异或），此性质大大简化了求解的效率。

策略

• 找子局面（问题）
• 找N/P，SG函数的规律

Nim游戏

每堆还剩$i$个，$SG(i)=i$。

Nim-k Game

每次最多可选取$k$堆。
N/P判断：为P，当且仅当所有二进制位上，$1$的个数均为$(k+1)$的倍数。