《最短路、最小生成树、强连 通分量及其应用》学习笔记

1.BFS及其运用

引言

BFS 是求解不带权有向图最短路的最高效做法。
它与 DAG 最短路的动态规划算法，共同构成最短路唯二的线性时间复杂度算法。
扩展：0-1 BFS、多源点 BFS。

• 0-1 BFS：
  因为队列里面不降，且极差为$1$，所以用deque，边权为$0$加在队头，否则加在对尾。

练习

(NCPC 2017)

• 题意
  有 n 种性格，每个性格由 k 个 01 字符组成，
  1 表示具有某种属性，0 表示不具有。
  定义两种性格 a,b 的差异为 a 具有某种属性而 b 不具有，
  或 b 具有某种属性而 a 不具有的属性个数。
  现在请你自己定义一种性格，赋予每种属性的值，使得和其
  他性格的差异最小的一个尽可能大。
  n ≤ 10^5, k ≤ 20。

• 思路
  $k$很小，把每一种性格状态一个$\le 2^k$的点。每个点向改变一个属性的点连边。从$m$个点开始bfs，每个点第一次被bfs到的距离即到$m$个点中的最短距离，找最短距离最长的即可。

补图最短路，HDU 5876

－ 题意
边权为$1$，求补图最短路。

• 思路
  用BFS，好处是每个点只会被更新（入队）一次。
  关键是边很多，每次队顶找边很慢$O(n)$，将入过队的点存入一个set里，每次直接找，原图没有连边会从set里面删去，其余的也是原图边的复杂度。

2.Floyd 及其应用

引言

Floyd 算法用于求任意两点最短路，对于图没有任何限制，
允许负权边，只要没有负环。
Floyd 算法时间复杂度 $O(n^3)$ ，常数非常小。

图的最小环

给定一个$n\le 500$个点的无向图，每条边有边权（大于 0）。
求对每一节点，包含该点的最小环长是多少。

• 最短路径树
  构造最短路径树，枚举非树边，复杂度$O(n^3)$。

3.Dijkstra 的应用

重建铁路

• 题意
  某王国由 n 个城市和 m 条双向道路构成，每条道路有相应
  的通行时间。
  该王国首都为 1 号城市，该城市和某些城市间还连有 k 条
  铁路，每条铁路有相应的通行时间。
  现在为了节省运营成本，问最多能去掉多少条铁路，使得首
  都到其他城市的最短距离不变。

• 思路
  最短路径树，dj过程中优先选公路。答案是非树边中铁路的个数。

不定方程

• 思路
  找到所有$r$，所有%a[1]=r的方案即为%a[1]=r的最短路径($dis[i]$)加上若干个$a[1]$得来的。
  因此找同余最短路，可以找到答案的集合。

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