【BZOJ2137】Submultiple

题意：

\(g(x)\)为\(x\)的因数个数。
求\(Ans=\sum\limits_{x|M}g(x)^K\)

思路

并不是很难的题。
题目的输入给了提示，让你往质因子的贡献去想，而且\(g\)因数个数这个函数，本身就等价于指数加一连乘积。
那就是每个质数考虑贡献个数（有点生成函数的感觉），然后乘起来。柿子：
\(Ans=\prod\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^{p_i+1}j^k\)
由唯一分解定理可以证明正确性（双射）
求解有两个数据党：
1.是\(p<=10^5\)直接预处理出前缀自然数幂和，暴力算就好了
2.是\(p\)是long long级别但\(k\)很小，用刚学的伯努利数即可。

code

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+5;
const int mod=1e9+7;
ll ksm(ll a,ll b) {ll mul=1;for(;b;b>>=1,a=a*a%mod)if(b&1)mul=mul*a%mod;return mul;}
ll jc[N],ijc[N],B[N],inv[N];
ll P[N],mxP;

ll binom(int n,int m) {return (n<m)?0:jc[n]*ijc[m]%mod*ijc[n-m]%mod;}

void init(int n) {
	inv[1]=jc[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
	for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
	ijc[n]=ksm(jc[n],mod-2);for(int i=n;i;i--)ijc[i-1]=ijc[i]*i%mod;
	//Bernoulli
	B[0]=1;
	for(int i=1;i<n;i++) {
		for(int j=0;j<i;j++) {
			B[i]=(B[i]-binom(i+1,j)*B[j])%mod;
		}
		B[i]=B[i]*inv[i+1]%mod;
	}
}

ll sum[N];
void solve1(int n,int k) {
	for(int i=1;i<=mxP+1;i++) {sum[i]=(sum[i-1]+ksm(i,k))%mod;}
	ll ans=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		ans=ans*sum[P[i]+1]%mod;
	}
	printf("%lld",ans);
}

ll calc(ll n,int k) {
	n=(n+1)%mod;
	ll res=0,pw=n;
	for(int i=k;i>=0;i--,pw=pw*n%mod) {
		res=(res+binom(k+1,i)*B[i]%mod*pw)%mod;
	}
	return res*inv[k+1]%mod;
}

void solve2(int n,int k) {
	init(25);
	ll ans=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		ans=ans*calc(P[i]+1,k)%mod;
	}
	printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);
}

int main() {
	int k,n;
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++) {scanf("%lld",&P[i]);mxP=max(mxP,P[i]);}
	if(mxP<=1e5) {solve1(n,k);}
	else solve2(n,k);
	return 0;
}