下降幂多项式乘法[学习笔记]

应用背景

两个下降幂多项式相乘

思路

易得思路：转为普通多项式+乘法+转回来（X 复杂且慢，浓浓的重工程味）
这里有一个好写且快的思路：
直接转为下降幂点值多项式（利用下降幂单项式系数的EGF易转exp）

$G(x)$

$=\sum\limits_{i\ge 0}F[i]\dfrac{x^i}{i!}$

$=\sum\limits_{i\ge 0} \sum\limits_{j\ge 0}f[j]*\dfrac{i^{ \underline{j} }}{i!}x^i$

$=\sum\limits_{j\ge 0} f[j] \sum\limits_{i\ge 0}\dfrac{1}{(i-j)!}x^i$

$=e^x\sum\limits_{i\ge 0}f[i]x^j$

发现就是普通方幂多项式（EGF）笛卡尔积一个$e^x$，就可以得到点值多项式。
反过来，得到点值多项式乘$e^{-x}$，转回下降幂多项式

所以转为点值，直接点乘后，转回下降幂多项式即可。
PS.看到网上说这个下降幂多项式转点值egf叫FDT（反过来IFDT）。

code:

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef double db;
typedef long long ll;
const int N=1e6+5;
const ll mod=998244353;
ll inv[N],inv3,f[N],gen[2][N];

ll ksm(ll a,ll b) {ll mul=1;for(;b;b>>=1,a=a*a%mod)if(b&1)mul=mul*a%mod;return mul;}
int rev[N],L,up;
void NTT(ll *a,int op) {
	for(int i=0;i<up;i++) {
		if(rev[i]>i)swap(a[i],a[rev[i]]);
	}
	for(int mid=1;mid<up;mid<<=1) {
		int len=mid<<1;ll w1=gen[op][len];
 		for(int l=0;l<up;l+=len) {
 			ll W=1;
			for(int i=0;i<mid;i++,W=W*w1%mod) {
				int p=l+i,q=p+mid;
				ll x=a[p],y=W*a[q];
				a[p]=(x+y)%mod;a[q]=(x-y)%mod;
			}
		}
	}
}

void gt_up(int len) {
	up=1,L=0;
	while(up<len) {up<<=1,L++;}
	for(int i=1;i<up;i++) {rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));}
}

void gt_gen(int len) {
	inv3=ksm(3,mod-2);
	gt_up(len);
	gen[0][up]=ksm(3,(mod-1)/up);gen[1][up]=ksm(inv3,(mod-1)/up);
	for(int i=up;i;i>>=1) {
		gen[0][i>>1]=gen[0][i]*gen[0][i]%mod;
		gen[1][i>>1]=gen[1][i]*gen[1][i]%mod;
	}
}

ll jc[N],ijc[N];
void init(int n) {
	jc[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
	ijc[n]=ksm(jc[n],mod-2);for(int i=n;i;i--)ijc[i-1]=ijc[i]*i%mod;
}

ll e[N]; 
void FDT(int n,ll *f,int op) {
	for(int i=0;i<n;i++) {
		if(op!=1&&(i&1)) {e[i]=-ijc[i];}
		else e[i]=ijc[i];
	}
	for(int i=n;i<up;i++)e[i]=f[i]=0;
	NTT(e,1),NTT(f,1);
	for(int i=0;i<up;i++)f[i]=f[i]*e[i]%mod;
	NTT(f,0);
	for(int i=0,j=ksm(up,mod-2);i<n;i++)f[i]=f[i]*j%mod;
	for(int i=n;i<up;i++)f[i]=0;
}

ll F[N],G[N];
int main() {
	int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);
	n++;m++;
	int lim=n+m-1;
	init(lim);gt_gen(lim<<1);
	for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&F[i]);
	for(int i=0;i<m;i++)scanf("%lld",&G[i]);
	
	FDT(lim,F,1),FDT(lim,G,1);
	for(int i=0;i<lim;i++)F[i]=F[i]*G[i]%mod*jc[i]%mod;
	FDT(lim,F,0);
	
	for(int i=0;i<n+m-1;i++) {printf("%lld ",(F[i]+mod)%mod);}
	return 0;
}
</details>