CF11D A Simple Task[求无向图简单环个数，状压dp]

• 题意：
  求无向图简单环个数（简单环为没有重复点、边的环）
  该无向图无重边自环。

• 思路
  不是很难的状压，但是我就是思维僵化想不到。
  环可以考虑一条路径，最后把起点和终点相连时，贡献答案为路径方案数。
  关键是一个环，算重次数相当于圆排列，而且还是项链需要除以$2$(这个最后除$2$就好了)。
  如何排列转不重复算的组合计数，常见套路就是定序，使双射出现。
  这里类似的钦定环上的一个点（路径起点）为编号最小值。因此这样就不会算重了。
  设$f[s][i]$表示经过路径点集$s$，当前停在$i$的方案数。
  转移$(i,j)\in E$且$2^j\ge lowbit(s)$

  • $j\notin s$：$f[s|(1<<j)][j]+=f[s][i]$
  • $j\in s$：如果$2^j=lowbit(s)$即是终点回到起点的那条边，贡献答案$ans+=f[s][i]$

• *注意：两个点的路径会被算成环，因此最终答案是$\dfrac{ans-m}{2}$

• code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=19;
const int M=N*N;
ll dp[1<<N][N];
int nxt[M],to[M],head[N],ecnt;
void add_edge(int u,int v) {nxt[++ecnt]=head[u];to[ecnt]=v;head[u]=ecnt;}

int main() {
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
		x--;y--;add_edge(x,y);add_edge(y,x);
	}
	int up=1<<n;
	for(int i=0;i<n;i++) dp[1<<i][i]=1;
	ll ans=0;
	for(int s=1;s<up;s++) {
		int low=s&(-s);
		for(int u=0;u<n;u++) {
			if(!dp[s][u])continue;
//			printf("dp[%d][%d]=%lld\n",s,u,dp[s][u]);
			for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) {
				int v=to[i];
				if((1<<v)<low)continue;
				if(s&(1<<v)) {if(low==(1<<v)){ans+=dp[s][u];}}
				else {dp[s|(1<<v)][v]+=dp[s][u];}
			}	
		}
	}
 	printf("%lld\n",(ans-m)>>1);
	return 0;
}