[学习笔记]牛顿迭代

前置知识：泰勒展开，多项式求逆

作用：解自变量为多项式的函数零点（人话：解方程）
已知 $G(F(x))\equiv0\pmod{x^n}$
老倍增思路了：
$G(F_0(z))\equiv0\pmod{x^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}}$
将$G(F(x))$在$F_0(x)$处泰勒展开，得：
$G(F(x))=G(F_0(x))+ \dfrac{G'(F_0(x))}{1!}(f(x)-f_0(x))+\dfrac{G''(F_0(x))}{2!}(f(x)-f_0(x))^2+...$
因为$F(x)$和$F_0(x)$的最后$\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil$项相同，均为0。
所以$(F(x)-F_0(x))^2$最低非$0$项次数大于$2\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil$
因此泰勒公式中平方以后的就被截断了，只剩下前两项：

$G(F(x))\equiv G(F_0(x))+G'(F_0(x))(F(x)-F_0(x))\pmod{x^n}$

又因为：$G(F(x))\equiv0\pmod{x^n}$

$F(x)\equiv F_0(x)-\dfrac{G(F_0(x))}{G'(F_0(x))}\pmod{x^n}$

注意这里$G$的求导是对$x$的，以后遇到解复合函数方程的，求个倒带入上面的公式就搞定了。

复杂度：$T(n)=T(\frac{n}{2})+O(nlog_2n)=O(nlog_2n)$