[THUSC2016]成绩单

luogu P5336

description

每次可以选择连续一段，删掉，两边合并过来。删一段的代价为$a+b*(max[l..r]-min[l...r])^2$
$n<=50$

solution

这种带区间拼接合并，而且$n$很小的的，容易想到区间dp
$f[l][r][x][y]$表示使$[l,r]$中最小值为$x$,最大值为$y$的最小代价。

思路1

通常决策考虑第一个或最后一个的选取情况。我喜欢考虑最后一个（$r$）

• 留下
  $f[l][r][min(x,w_r)][max(y,w_r)]=f[l][r-1][x][y]$
• 删
  枚举划分点，右边删，左边留。
  $f[l][r][x][y]=min(f[l][k][x][y]+g[k+1][r])$
  我们发现$[k+1,r]$不需要考虑max,min只需代价最小。因此令$g[l][r]$表示$[l,r]$删完的最小代价。
  $g[l][r]=min(f[l][r][x][y])$

思路1 code

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=55;
int w[N],g[N][N],f[N][N][N][N],val[N];
int main() {
	int n,a,b;scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&w[i]),val[i]=w[i];
	sort(val+1,val+1+n);
	int m=unique(val+1,val+1+n)-val;
	for(int i=1;i<=n;i++)w[i]=lower_bound(val+1,val+m,w[i])-val;
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	memset(g,0x3f,sizeof(g));
	for(int i=1;i<=n;i++)g[i][i]=a,f[i][i][w[i]][w[i]]=0;
	for(int l=n;l;l--) {
		for(int r=l+1;r<=n;r++) {
			for(int x=1;x<m;x++) {
				for(int y=1;y<m;y++) {
					f[l][r][min(x,w[r])][max(y,w[r])]=min(f[l][r][min(x,w[r])][max(y,w[r])],f[l][r-1][x][y]);
					for(int k=l;k<r;k++) {f[l][r][x][y]=min(f[l][r][x][y],f[l][k][x][y]+g[k+1][r]);}
				}
			}
			for(int x=1;x<m;x++)for(int y=1;y<m;y++)g[l][r]=min(g[l][r],f[l][r][x][y]+a+b*(val[y]-val[x])*(val[y]-val[x]));
		}
	}
	printf("%d",g[1][n]);
	return 0;
} 

思路2

$g$还是一样的要定义。
这个要直率的多，直接考虑所有情况。

• 删左半边
• 删右半边
• 两边都不删，因此两个$f$的3，4维都分别要是$x,y$
  略