[SHOI2016]黑暗前的幻想乡

description

有\(n\)个点，\(m\)条边，\(n-1\)种颜色，每种颜色都有一个能涂的边集。问构成的满足每个边颜色不同的生成树有多少种。

solution

计数题，有两个限制:
1.生成树方案
2.恰好每种颜色都算入（所有边颜色不同）
1显然能用矩阵树定理。2有待商榷
把所有边算入，求矩阵树行列式得到的是至多\(n-1\)种颜色的边。
看到这里就会想到容斥，得到恰好\(n-1\)种颜色的边。

code

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=18;
const int M=N*N;
const int mod=1e9+7;
struct edge{int x,y;};
vector<edge> V[N];
int n;
ll G[N][N];
ll ksm(ll a,ll b) {ll mul=1;for(;b;b>>=1,a=a*a%mod)if(b&1)mul=mul*a%mod;return mul;}
ll _det() {
//	printf("!");
	ll mul=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int r=i;
		while(r<=n&&!G[r][i]) r++;
		if(r==n+1)continue;
		if(r!=i) {mul*=-1;for(int j=1;j<=n;j++) swap(G[r][j],G[i][j]);}
		for(int j=i+1;j<=n;j++) {
			ll tmp=G[j][i]*ksm(G[i][i],mod-2)%mod;
			for(int k=1;k<=n;k++) G[j][k]=(G[j][k]-G[i][k]*tmp)%mod;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)mul=mul*G[i][i]%mod;
//	printf("%lld\n",(mul+mod)%mod);
	return mul;
}
void init() {
	scanf("%d",&n);n--;
	for(int i=0;i<n;i++) {
		int m;scanf("%d",&m);
		for(int j=1;j<=m;j++) {
			int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);
			V[i].push_back((edge){u,v});
		}
	}
}
void Add(int u,int v) {G[u][u]++;G[v][v]++;G[u][v]--;G[v][u]--;}
void solve() {
	int up=1<<n;
	ll ans=0;
	for(int s=0;s<up;s++) {
//		printf("%d:~~~~~~~~~~~~~\n",s);
		int bit=0;
		for(int j=0;j<n;j++) {
			if((1<<j)&s) {
				bit++;
				for(int k=0;k<V[j].size();k++) {
					Add(V[j][k].x,V[j][k].y);
				}
			}
		}
		ans=(ans+(((n-bit)&1)?-1:1)*_det())%mod;
		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)G[i][j]=0;
	}
	printf("%lld",(ans+mod)%mod);
}
int main() {
	init();
	solve();
	return 0;
}