description
给一个\(n*m\)的棋盘，'.'为可通行，'#'为障碍。Alice选择一个起始点，Bob先手从该点往四个方向走一步，Alice再走，不能走走过的点，谁不能动谁就输了。
问Alice选择哪些出发点能赢。
solution
棋盘黑白染色
分类后建二分图
1.Alice选择关键匹配点(所有的最大匹配都包含该点)，Bob赢。
2.否则，Alice选择(含不包含该点的匹配），Alice赢。
证明：
1：起点为\(S\)，条件是所有最大匹配都包括\(S\)。Bob走一条匹配边，一定会到一个匹配点。因为如果到非匹配点，相当于中间有连续两个非匹配边，因此可以把匹配边编集整体平移一个（匹配边数量不变），这时\(S\)不是匹配边与条件矛盾。
2：如果为2的话（假如Alice选的起点为S），存在一个最大匹配是不包含S的，所以对于该匹配Bob所到的一定是匹配点，接着Alice一直走非匹配边，Bob只能走到匹配边……
最后一定结束在匹配边，否则会有新的增广路。
做法肯定能想到暴力删每个点跑一次，判断是否为关键匹配点。
不过复杂度太爆炸，因此先跑一次最大流得到匹配边。其中没有被选的点已经确定为非关键匹配点了，它所连出的边（非匹配边）所到的另一个集合的点再回到它所在的集合中的匹配点，那这个匹配点一定是非关键匹配点（因为可以由它替换）。这个利用dfS配残量len=1就可以判断，记得从\(t\)搜的时候要判反边的len。
code
戳我
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+5;
const int M=1e6+5;
const int inf=1e9;
char mp[N][N];
int n,m,dir[5][2]={{0,-1},{0,1},{1,0},{-1,0}};
int s,t,dis[M],gap[M],id[N][N],nxt[M],to[M],head[M],len[M],ecnt=1;
bool vis[M];
void add_edge(int u,int v,int z) {
nxt[++ecnt]=head[u];to[ecnt]=v;len[ecnt]=z;head[u]=ecnt;
nxt[++ecnt]=head[v];to[ecnt]=u;len[ecnt]=0;head[v]=ecnt;
}
queue<int> Q;
void BFS() {
for(int i=s;i<=t;i++) dis[i]=-1;
Q.push(t);gap[dis[t]=0]++;
while(!Q.empty()) {
int u=Q.front(); Q.pop();
for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) {
int v=to[i];
if(dis[v]!=-1)continue;
gap[dis[v]=dis[u]+1]++;Q.push(v);
}
}
}
int dfs(int u,int flow) {
if(u==t) return flow;
int used=0;
for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) {
int v=to[i];
if(len[i]&&dis[u]==dis[v]+1) {
int tmp=dfs(v,min(len[i],flow-used));
if(tmp) {len[i]-=tmp;len[i^1]+=tmp;used+=tmp;}
if(used==flow)return used;
}
}
--gap[dis[u]];
if(!gap[dis[u]]) dis[s]=t;
dis[u]++,gap[dis[u]]++;
return used;
}
int mxflow=0;
void ISAP() {
for(BFS();dis[s]<t;mxflow+=dfs(s,inf));
}
void Build() {
int tc=0;
s=0;t=n*m+1;
for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)id[i][j]=++tc;
for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) {
if(((i+j)&1)&&mp[i][j]=='.') {
for(int d=0;d<4;d++) {
int x=i+dir[d][0],y=j+dir[d][1];
if(id[x][y]&&mp[x][y]=='.')add_edge(id[i][j],id[x][y],1);
}
add_edge(s,id[i][j],1);
}
else add_edge(id[i][j],t,1);
}
}
void dfs1(int u) {
vis[u]=1;
for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) if(!vis[to[i]]&&len[i]) dfs1(to[i]);
}
void dfs2(int u) {
vis[u]=1;
for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) if(!vis[to[i]]&&len[i^1]) dfs2(to[i]);
}
bool ans[N][N];
void solve() {
ISAP();dfs1(s);
int cnt=0;
for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++) {
if(((i+j)&1)&&vis[id[i][j]]&&mp[i][j]=='.') {ans[i][j]=1;cnt++;}
vis[id[i][j]]=0;
}
dfs2(t);
for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++) {
if((i+j)&1)continue;
if(mp[i][j]=='.'&&vis[id[i][j]]) {ans[i][j]=1;cnt++;}
}
printf("%d\n",cnt);
for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++) {
if(ans[i][j]) printf("%d %d\n",i,j);
}
}
int main() {
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",mp[i]+1);
Build();
solve();
return 0;
}
我老婆：
