[学习笔记] WQS二分

讲述人

通常我们需要求一些有个数限制的答案
令$g(i)$就是满足选$i$个……所得到的答案
现在我们需要求解的是$g(x)$
如果将限制和结果映射到二位坐标系上，即$(i,g(i))$
WQS能解决的前提是：所有点构成的是凸性的函数。（或者斜率[g(i)-g(i-1)]是单调的）
显然，我们不能直接求解$g(x)$
我们利用斜率是单调的，二分一个[一次函数]斜率$k$
我们找到斜率$k$在函数上切到的点的$t$。通过$t$和$x$的大小关系调整k的二分范围。
然后就能找到切$(x,g(x))$的$k$即可算出$g(x)$
问题在于如何找到$k$切到的节点。
画画图发现如果是上凸壳过该节点的直线的截距最大。下凸壳即找截距最小的点。
发现截距为$g(x)-x*k$
因此给每个物品的价值$-k$得到的值可以表示截距，然后在求整体最小（大）值，同时记录横坐标（选的个数）。
你会发现我们把有个数限制的问题转化为了没有个数限制的问题。

注意点

• 另$m$为最优的决策点，如果多点斜率相同共线的情况下，即同一$k$的$x$是一个区间范围，具体情况具体分析，首先肯定有可能二分不到确切的$x$，所以根据最优值相同第关键字$x$返回最大或最小来判定结束条件，比如$\le$目标个数。
• 正常只要$g(i+1)-g(i)$是整数，二分的斜率都不需要用小数。但注意可能会用到负数。

例题

[国家集训队]Tree I
因为i-1->i时，相当于少选最大的一条黑边，多选最小的一条白边。对于i和i-1的变化量，显然$\Delta i-1<\Delta i$
显然是一个下凸壳了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int need,n,m,fa[N],tx;
double res;
struct edge {int x,y,col;double z;}E[N];
bool cmp(edge u,edge v) {return u.z<v.z;}
int gt_fa(int u) {return fa[u]==u?u:fa[u]=gt_fa(fa[u]);} 
void kruskar(double k) {
	for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;i++) if(!E[i].col)E[i].z-=k;
	sort(E+1,E+1+m,cmp);
	res=tx=0;
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int u=gt_fa(E[i].x),v=gt_fa(E[i].y);
		if(u==v)continue;
		fa[u]=v;
		res+=E[i].z;tx+=!E[i].col;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++) if(!E[i].col)E[i].z+=k;
}
double eps=1e-5;
void solve() {
	double l=-100,r=100,ans=0;
	while(r-l>eps) {
		double mid=(l+r)/2;
		kruskar(mid);
		if(tx>=need) {ans=res+need*mid;r=mid;}
		else l=mid;
	}
	printf("%.0lf\n",ans);
}
int main() {
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&need);
	for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d%lf%d",&E[i].x,&E[i].y,&E[i].z,&E[i].col),E[i].x++,E[i].y++;
	solve();
	return 0;
}