笛卡尔树

概念

• 性质1:中序便利后为原串顺序
• 性质2:类大（小）根堆

魔板(构树）

int Build() {
	int tp=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		son[i][0]=son[i][1]=0;
		while(tp&&h[i]<h[st[tp]]) {
			son[i][0]=st[tp--];
		}
		if(tp) son[st[tp]][1]=i;
		st[++tp]=i;
	}
	return st[1];    //返回根
}

直方图中最大的矩形

• 思路：（小根）一个点的子树即为以它往两端延伸的所有值小于它的点集

RMQ相似序列

• 思路：两个相似相当于笛卡尔树形态一致。
  然后我们要做一个模型转换：因为笛卡尔树的形态跟大小关系有关
  $p[i]=p[j]$的概率为$\frac{1}{\infty}=0$
  所以$p[i]<p[j]$和$p[i]>p[j]$的概率等分为$\frac{1}{2}$
  因此转换为：**1-n排列笛卡尔树形态为A笛卡尔树的概率。
  对于一个子树它的跟是确定为:$size_i$,而它的左右子树都是两个子问题。
  而一个点的贡献值为$[0,1]$所以每个点的期望贡献值为 $\frac{1}{2}$ ，所以总贡献值为$\frac{n}{2}$
  所以期望$\sum_{i=1}^n\frac{1}{size_i}*\frac{n}{2}$

字符串排序

• 思路：按位从高位到低位，找到最高为$p[i]=0$,所以我们可以知道$[0,i-1]$和$[i,n-1]$的大小关系。然后两个区间也是两个子问题，因此递归处理。
  当然以上只是脑中思。我们先按$p[]$建笛卡尔树（小根），一个节点左边代表修改前，该点表示刚修改，右边代表修改后（完美利用笛卡尔树的性质1）。
  我们先按先左后右，将每个字符挂在叶子上。
  我们再按实际大小关系走（每个点先走小的）。到叶节点标记它的rank。
• 代码：

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int N=2e6+5;
    int inf=0x3f3f3f3f,n,flag,Time,son[N][2],tp,st[N];
    ll ans=0,e=10000019,md=1e9+7,pw[N],c[N],p[N],d[N];
    int Build() {
    	tp=0;
    	for(int i=1;i<=n;i++) {
    		son[i][0]=son[i][1]=0;
    		while(tp&&p[i]<p[st[tp]]) son[i][0]=st[tp--];
    		if(tp) son[st[tp]][1]=i;
    		st[++tp]=i;
    	}
    	return st[1];
    }
    void dfs1(int u) {
    	int ls=son[u][0],rs=son[u][1];
    //	printf("!%d %d %d\n",u,ls,rs);
    	if(ls)dfs1(ls); else son[u][0]=++Time;
    	if(rs)dfs1(rs); else son[u][1]=++Time;
    }
    void dfs2(int u) {
    	if(u>n) {ans=(ans+pw[u-n-1]*flag%md)%md;flag++;return;}
    	int ls=son[u][0],rs=son[u][1];
    	if(p[u]==inf||p[u]%10<=d[u]) {
    		dfs2(ls),dfs2(rs);
    	}
    	else {
    		dfs2(rs),dfs2(ls);
    	}
    }
    int main() {
    	int T;
    	scanf("%d",&T);
    	pw[0]=1;
    	for(int i=1;i<=2e6;i++) pw[i]=pw[i-1]*e%md;
    	while(T--) {
    		flag=ans=0;
    		ll seed,a,b,mod;
    		scanf("%d",&n); Time=n;
    		scanf("%lld%lld%lld%lld",&seed,&a,&b,&mod);
    		for(int i = 0; i < n; ++i) c[i] = i;
    		for(int i = 1; i < n; ++i) {
    		    swap(c[i], c[seed%(i+1)]);
    		    seed = (seed * a + b)%mod;
    		}
    		scanf("%lld%lld%lld%lld",&seed,&a,&b,&mod);
    		for(int i = 0; i < n; ++i) {
    		    d[i+1] = seed%10;
    		    seed = (seed * a + b)%mod;
    		}
    		for(int i=1;i<=n;i++) {
    			p[i]=c[i-1];
    			if(p[i]%10==d[i]) p[i]=inf;
    		}
    //		for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",p[i]);
    //		puts("");
    //		for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",d[i]);
    //		puts("");
    		int rt=Build();
    		dfs1(rt);
    		dfs2(rt);
    		printf("%lld\n",ans);
    	}
    }