中国剩余定理

𝐶𝑅𝑇：𝐶ℎ𝑖𝑛𝑒𝑠𝑒 𝑅𝑒𝑚𝑎𝑖𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑇ℎ𝑒𝑜𝑟𝑒:
今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？(古人都比我们聪明）

因此求形如:
\(x \equiv r_1 \quad (mod \, p_1)\)
\(x \equiv r_2 \quad (mod \, p_2)\)
...
\(x \equiv r_n \quad (mod \, p_n)\)
的解x?

但能使用CRT的前提是:对于任意 \(i,j \quad gcd(i,j)=1\) (所有模数互质)

算法流程

1.\(m\)为所有\(P_i\)的乘积
2.对于第\(i\)个方程式，我们给 \(ans+=m/p_i*inv(m/p_i,p_i)*r_i\)
因为\(m/p_i\)表示\(m/a[i]\)满足为除了i以外所有数的倍数，且 \(m/a[i]*k \equiv 1 \quad (mod \, a[i])\)

代码：

#include<stdio.h>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=15;
typedef long long ll;
ll a[N],b[N];
ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {		//a>b
	if(b==0) {
		x=1,y=0; return a;
	}
	ll d=ex_gcd(b,a%b,x,y);
	ll xx=x; x=y; y=xx-a/b*y;
}
ll inv(ll a,ll p) {
	ll x=1ll,y=0ll;
	ll d=ex_gcd(a,p,x,y);
	return x;
}
int main() {
	int n;
	ll m=1ll,ans=0;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);		//模数，余数 
		m*=a[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		ans=(ans+(m/a[i])%m*inv(m/a[i],a[i])%m*b[i]%m)%m;		//m/a[i]满足为除了i以外所有数的倍数，且m/a[i]*k=1(mod a[i])
	}
	printf("%lld",ans>0?ans:ans+m);
	return 0;
}