斯坦纳树

最小斯坦纳树

• 概念：n个点中选出最小树覆盖其中k个点
  （详见：P6192 【模板】最小斯坦纳树）
• 方法：这是个NP问题，核心是状压DP
• 方程:

$dp[i][s]=min{dp[i][s1]+dp[i][s XOR s1]}$

$dp[i][s]=min{dp[j][s]+len[j][i]}$
第二个式子可以类似最短路的松弛操作，对于每个s所以用dijkstra或spfa计算

• 代码

#include<stdio.h>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1005;
const int K=15;
const int N=105;
int n,m,q;
int a[N],nxt[M],to[M],head[M],len[M],num,f[N][1<<K],inf=0x3f3f3f3f;
bool vis[N],mark[N][1<<K];
void add_edge(int u,int v,int w) {
	nxt[++num]=head[u]; to[num]=v; len[num]=w; head[u]=num;
}
queue<int> Q;
void spfa(int s) {
	for(int i=0;i<n;i++) {
		if(f[i][s]!=inf) Q.push(i),mark[i][s]=true;
	}
	while(!Q.empty()) {
		int u=Q.front(); Q.pop();
		mark[u][s]=false;
		for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) {
			int v=to[i];
			if(f[v][s]>f[u][s]+len[i]) {
				f[v][s]=f[u][s]+len[i];
				if(!mark[v][s]) Q.push(v);
			}
		}
	}
}

void solve() {
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	for(int i=0;i<q;i++) f[a[i]][1<<i]=0;
	for(int s=0;s<(1<<q);s++) {
		for(int i=0;i<n;i++) {
			for(int s1=(s-1);s1;s1=(s1-1)&s) {
				f[i][s]=min(f[i][s],f[i][s1]+f[i][s^s1]);
			}
		}
		spfa(s);
	}
}
int main() {
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int u,v,w;
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		u--; v--;
		add_edge(u,v,w); add_edge(v,u,w);
	}
	int ans=inf,u;
	for(int i=0;i<q;i++) {
		scanf("%d",&a[i]); a[i]--;
		vis[a[i]]=true;
	}
	solve();
	for(int i=0;i<n;i++) {
		ans=min(ans,f[i][(1<<q)-1]);
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

管道连接

P3264 [JLOI2015]管道连接

• 题意：问您最小斯坦纳森林（即满足多棵斯坦纳树）

• 思路：前提范围肯定森林总点数极小，先还是按上述求斯坦纳树的方式求出所有（点集组合）$f[i][s]$ 。

然后我们用$ans[s]$递推答案，先预处理:
$ans[s]=min( f[i][s] )$

（状压类）递推式，类似：

$ans[s]=min( ans[s1]+ans[s\quad XOR s1] )$

但注意这里前提要保证s1,s^s1是由一些完整的斯坦纳树组成，即不能出现一棵要求的斯坦纳树有点且缺点的情况