多项式 - 随笔分类 - Crazy!!!

摘要：思想：分治fft 构造

g_{0} = a_{0}

$g_0=a_0$ , 对于

i \in [1, n - 1]

$i\in [1,n-1]$

g_{i} = \frac{a_{i}}{a_{i - 1}}

$g_i=\dfrac{a_i}{a_{i-1}}$ 容易得到答案为：

\sum_{i = 0}^{n - 1} \prod_{j = 0}^{i} g_{j}

$\sum\limits_{i=0}^{n-1} \prod\limits_{j=0}^i g_j$ 因为分子的

a

$a$ 会被下一个分母

a

$a$ 抵消掉只剩系阅读全文

posted @ 2022-07-20 16:12 Crazy!!! 阅读(65) 评论(0) 推荐(1) 编辑

普通多项式转下降幂多项式[学习笔记]

摘要：思路：前置知识：分治fft（会求下降幂），多项式带余除法首先能想到的一种做法是，多项式快速求值，然后IFDT一下。但多项式快速求值我都用分治fft……所以也可以用下面这种：虽然是

O (n l o g^{2} n)

$O(nlog^2n)$ 但常数小，而且好些。注意一下节点开动态空间不要越界，而且要注意一下各种上界 $F(x)=\s 阅读全文

posted @ 2022-07-20 14:42 Crazy!!! 阅读(77) 评论(0) 推荐(1) 编辑

下降幂多项式乘法[学习笔记]

摘要：应用背景两个下降幂多项式相乘思路易得思路：转为普通多项式+乘法+转回来（X 复杂且慢，浓浓的重工程味）这里有一个好写且快的思路：直接转为下降幂点值多项式（利用下降幂单项式系数的EGF易转exp）

G (x)

$G(x)$ $=\sum\limits_{i\ge 0}F[i]\dfrac{x^i}{i! 阅读全文

posted @ 2022-07-20 10:35 Crazy!!! 阅读(111) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【BZOJ3513-MUTC2013】idiots[生成函数+容斥]

摘要：题意：给一些长度的木棍，问你构成三角形的方案数。

n <= 10^{5}

$n<=10^5$ 思路：计数问题。三角形构成条件中：两短边和大于第三边即可。可以用生成函数（fft乘法）统计出所有由两条（不同）边构成的长度和及其方案数。然后乘上比该和小的总个数。会发现，对于三条边（三元组），如果构成三角形会被算

3

$3$ 次，阅读全文

posted @ 2022-07-04 14:53 Crazy!!! 阅读(40) 评论(0) 推荐(0) 编辑

SP8372 Triple Sums [生成函数+容斥]

摘要：description 传送门给

n

$n$ 个数，让你输出所有可能的由三个不同下标的数得到的和，以及构成该和的方案数。 solution 很容易想到

A = c n t_{0} x^{0} + c n t_{1} x^{1} + c n t_{2} x^{2} . . .

$A=cnt_0x^0+cnt_1x^1+cnt_2x^2...$ 卷三次，但要减掉存在至少两个相同下标的方案。因此构造$B=cnt_0x^0+cnt_1x 阅读全文

posted @ 2022-07-04 14:43 Crazy!!! 阅读(40) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[学习笔记]牛顿迭代

摘要：前置知识：泰勒展开，多项式求逆作用：解自变量为多项式的函数零点（人话：解方程）已知

G (F (x)) \equiv 0 (\mod x^{n})

$G(F(x))\equiv0\pmod{x^n}$ 老倍增思路了：

G (F_{0} (z)) \equiv 0 (\mod x^{⌈ \frac{n}{2} ⌉})

$G(F_0(z))\equiv0\pmod{x^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}}$ 将$G(F(x 阅读全文

posted @ 2022-06-30 22:00 Crazy!!! 阅读(45) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[学习笔记]多项式对数函数（多项式 ln）

摘要：思路 ln套多项式看成复合函数，（因为ln不好处理）复合函数两边同时求导，可得

\frac{A^{'} (x)}{A (x)}

$\dfrac{A'(x)}{A(x)}$ 。然后记得积分回来。前置知识：多项式求逆，多项式求导、积分 ##　code: 点击查看代码 #include<bits/stdc++.h> using namespace std 阅读全文

posted @ 2022-06-29 21:58 Crazy!!! 阅读(337) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[学习笔记]多项式开根

摘要：##　思路：推柿子跟求逆一样，分治（倍增）的思想：不想写了推出

(F - G)^{2} \equiv 0 (\mod x^{n})

$(F-G)^2 \equiv0\pmod{x^n}$ 所以

G = \frac{F^{2} + A}{2 F}

$G=\dfrac{F^2+A}{2F}$ 边界处要用二次剩余的Cipolla算法。因此只要会多项式求逆、乘法，二次剩余即可。 code #include<bits/std 阅读全文

posted @ 2022-06-29 21:54 Crazy!!! 阅读(48) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[学习笔记]多项式求逆

摘要：题意：如其名…… 思路：多项式的关键在于：用模的次数降次。它的复杂度跟模数的次幂有关。所以可以考虑对模数分治。参考若多项式

F

$F$ 只有一项，直接求常数项的逆元（这也是判别多想式是否存在逆元的条件）。设已知 $F(x)H(x)\equiv1\pmod{x^{\left\lceil\frac{n 阅读全文

posted @ 2022-06-28 20:15 Crazy!!! 阅读(145) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【学习笔记】多项式复合函数

摘要：##　题意：给多项式

F (x)

$F(x)$ 和

G (x)

$G(x)$ ,求

n

$n$ 次多项式

H (x)

$H(x)$ ,满足

H (x) = F (G (x)) (m o d x^{n + 1})

$H(x)=F(G(x)) (mod\ x^{n+1})$ 。 luogu传送门思路：题意具体可以把多项式

G

$G$ 当作自变量，每次次幂后，乘

F

$F$ 的系数。想要暴力解决问题，试试分块。令$L= \left\lcei 阅读全文

posted @ 2022-06-28 09:23 Crazy!!! 阅读(273) 评论(0) 推荐(1) 编辑

素数路径（Prime Distance On Tree ）

摘要：题意边长为1，求长度为素数的路径数。思路路径计数：点分治+fft 按深度为下标，次数为值卷起来。结果会吧两端相同的路径算一次，把两端不同的路径算两次。因此枚举每个点吧对应深度下标减一。当然这是那种需要容斥的点分治。 code 点击查看代码 #include<bits/stdc++.h> 阅读全文

posted @ 2022-06-27 15:36 Crazy!!! 阅读(95) 评论(0) 推荐(1) 编辑

5651 [51nod1348]乘积之和

摘要：##　题意：给长度为

n

$n$ 的数列

a_{i}

$a_i$ ,

q

$q$ 个询问每次给

k

$k$ ，问不同方案

k

$k$ 个数乘起来乘积的和。（mod=1e5+4） ##　思路：从乘起来的和切入容易想到ntt吧。问题是怎么卷。 ntt，ftt只能解决两个多项式相卷的问题。因此用分治（二分），可解决问题。分治是递归的，会存在状态阅读全文

posted @ 2022-06-25 16:07 Crazy!!! 阅读(72) 评论(0) 推荐(1) 编辑

九连环

摘要：题面即求

⌊ \frac{2^{i + 1}}{3} ⌋

$\left\lfloor\frac{2^{i+1}}{3}\right\rfloor$ 具体证明可以康luogu题解区。发现需要高精度，而且不能暴力

n 2

$n2$ 高精度。因为二进制位数是

105

$105$ 级别，所以十进制至少是

10^{4}

$10^4$ 级别。 fft当然可以的，多项式除3也不是很难想。这里学的是阅读全文

posted @ 2022-06-24 21:18 Crazy!!! 阅读(129) 评论(0) 推荐(2) 编辑

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