做算法第二章作业的编程题有感
序言：第二章的题目实在是花费了我很多时间去想，甚至有些题目我并不能仅依靠自己的能力，还要上网去查明某些算法的实现，才能解出这道题。虽然本章作业的五道题目都不容易，但其思想没有脱离本章内容——分治法和递归，因此我们一一解读一下部分题目，并总结一下它们的解题思想。
1.派
题目内容：
我的生日要到了！根据习俗，我需要将一些派分给大家。我有N个不同口味、不同大小的派。有F个朋友会来参加我的派对，每个人会拿到一块派（必须一个派的一块，不能由几个派的小块拼成；可以是一整个派）。
我的朋友们都特别小气，如果有人拿到更大的一块，就会开始抱怨。因此所有人拿到的派是同样大小的（但不需要是同样形状的），虽然这样有些派会被浪费，但总比搞砸整个派对好。当然，我也要给自己留一块，而这一块也要和其他人的同样大小。
请问我们每个人拿到的派最大是多少？每个派都是一个高为1，半径不等的圆柱体。
输入格式:
第一行包含两个正整数N和F，1 ≤ N, F ≤ 10 000，表示派的数量和朋友的数量。 第二行包含N个1到10000之间的整数，表示每个派的半径。
输出格式:
输出每个人能得到的最大的派的体积，精确到小数点后三位。
输入样例:
3 3
4 3 3
输出样例:
在这里给出相应的输出。例如：
25.133
我的解题思路：
（按例先放参考代码）
1 #include <iostream> 2 #include <cmath> 3 using namespace std; 4 const double PI = acos(-1.0); //定义常量PI，这里用到了cmath头函数提供的求PI的反cos函数 5 6 bool divide(double array[], double currentDivide, int N, int people) 7 { //cuttentDivide为当前划分的量，大小为中间量(divideMid) 8 int ableNum = 0; //ableNum表示按当前的分法，每个派能分几份 9 for (int i = 0; i < N; i++) 10 { 11 ableNum += int(array[i] / currentDivide); //记录当前这个派能够分几份，然后再讲每个派的情况累加起来 12 } 13 if (ableNum >= people) return true; //如果分出来的份数大于或等于总人数，那么此情况可成立（但不是最佳分法） 14 else return false; //这种情况不可行，要缩小currentDivide以分更多的派给朋友和我 15 } 16 17 int main() 18 { 19 int N, F; 20 cin>>N>>F; 21 int radius[10005]; 22 double v[10005]; 23 double vmax = 0; 24 int people = F + 1; 25 for (int i = 0; i < N; i++) //输入每个派的半径，同时算出每个派的体积,并用vmax记录最大的体积 26 { 27 cin>>radius[i]; 28 v[i] = radius[i] * radius[i] * PI; 29 if (vmax < v[i]) 30 vmax = v[i]; 31 } 32 double divideMin = 0, divideMax = vmax; //定义划分的最小情况和最大情况 33 double divideMid; //定义划分中间量 34 while (divideMax - divideMin > 1e-7) //循环终止条件：最大值小于最小值 35 { 36 divideMid = (divideMin + divideMax) / 2; 37 if (divide(v, divideMid, N, people)) 38 { 39 divideMin = divideMid; //如果当前分法成立，则尝试分更大的派给大家 40 } 41 else 42 { 43 divideMax = divideMid; //如果当前分法根本无法满足我们的要求，那么我们分小一点保证能完成基本任务 44 } 45 } 46 double finalDivide; 47 finalDivide = divideMid; 48 printf("%.3lf", finalDivide); //涉及到输出特定位小数，还是用printf安全！ 49 return 0; 50 }
这一道题目非常有意思，所以先放到第一个讲。
先解决输入问题：首先题目就有一点要我们注意：既然N是派的个数，F为来访朋友的个数，而“我”本人也是需要吃派的，所以实际分派人数为N+1。而题目要求的输出项为每人分到的派的体积，所以我在定义每个派的半径数组的同时，还算出了每一派的体积数组，还用一个vmax来记录最大的那个派的体积。
再看一下题目要求的分派方法：所有人拿到的派是同样大小的（但不需要是同样形状的），虽然这样有些派会被浪费，但总比搞砸整个派对好。当然，我也要给自己留一块，而这一块也要和其他人的同样大小。
这就意味着，每个人分到的派，都是从某一个给定的派中划分出来的（题目不允许拼派），所以会有以下情况：
1.某一个派因为太小了，但它刚好是每个人能分到的大小，所以把它直接给了一个人。
2.某一个派因为稍稍比算出来的每个人分到的派大，所以要浪费掉该派的剩下的部分。
3.某一个派刚好是算出来的每个人分到的派的两倍体积！（只能刚好平分，不能一边大，一边小，不然违背题目要求，同时题目不允许拼派，所以也不能分一半大、一半小）
根据二分法的思想，我定义了三个变量分别表示划分派的最小量、最大量、中间量，最小值初值为0，最大值初值为刚刚的得到的最大体积，这样的话，中间值就是最大派平分的情况，那么下面开始本题核心算法：判断到底该缩小中间量还是增大中间量的算法（函数名为divide的函数）
1 bool divide(double array[], double currentDivide, int N, int people) 2 { //cuttentDivide为当前划分的量，大小为中间量(divideMid) 3 int ableNum = 0; //ableNum表示按当前的分法，每个派能分几份 4 for (int i = 0; i < N; i++) 5 { 6 ableNum += int(array[i] / currentDivide); //记录当前这个派能够分几份，然后再讲每个派的情况累加起来 7 } 8 if (ableNum >= people) return true; //如果分出来的份数大于或等于总人数，那么此情况可成立（但不是最佳分法） 9 else return false; //这种情况不可行，要缩小currentDivide以分更多的派给朋友和我 10 }
为什么要用到判断是要缩小中间量还是增大中间量？
因为中间量被传到divide函数中，变成了当前这种分派方法的划分派大小值（currentDivide）。
如果，按照当前的划分大小来划分每一个派，结果所有派分好了，不够总人数大，不能保证朋友们和我都吃到派，这种方法太奢侈了！要求缩小每个人分到的派的大小，以保证我们的基本任务（每个人都吃到大小相等的派）！所以，继续尝试分下去！
如果，按照当前的划分大小来划分每一个派，结果所有派分好了，够总人数，这样完成了我们的基本任务，但肯定会有浪费的派，为了响应国家节约粮食的号召，我们不能满足于大家吃很少很少的派，然后笑嘻嘻地丢掉了浪费掉的派！所以我们增大当前分法的划分大小，试一下，让大家都吃更多的派同时保证每个人吃到同样大小的派的基本任务！所以，继续尝试分下去！
因为循环条件是最大值大于最小值，当我们不断修改最大值和最小值后，最后我们得到了最佳的划分大小并终止循环，就能得到最佳分法啦！
不得不说用二分法解决这道题真的很有意思，我们既要保证每个人吃一样大的派，同时还要尽量减少浪费，因此要控制好循环的终止条件，并设置好每种情况要如何修改最大值和最小值（中间值取决于最大值和最小值）。
2.二分法求函数的零点
题目内容：
有函数：f(x)=x^5−15x^4+85x^3−225x^2+274^x−121 已知f(1.5)>0,f(2.4)<0 且方程f(x)=0 在区间[1.5,2.4] 有且只有一个根，请用二分法求出该根。
我的解题思路：
（按例先放参考代码）
1 #include <iostream> 2 #include <math.h> 3 using namespace std; 4 5 double expression(double x) //用于表示题目的函数 6 { 7 double fx; 8 double x2 = pow(x, 2); 9 double x3 = pow(x, 3); 10 double x4 = pow(x, 4); 11 double x5 = pow(x, 5); 12 fx = x5 - 15 * x4 + 85 * x3 - 225 * x2 + 274 * x - 121; 13 return fx; 14 } 15 16 int main() 17 { 18 //设定初始区间，并设置其的作用域为main函数内 19 double left = 1.5; 20 double right = 2.4; 21 while(left + 1e-7 < right) 22 { 23 double mid = (left + right) /2; //定义mid存储中间值 24 if(expression(mid) > 1e-7) //若mid大于0,则最小值变大 25 left = mid; 26 else right = mid; //若mid小于或等于0，则最大值缩小 27 } 28 if(fabs(expression(left)) < 1e-7) 29 cout<<left; 30 return 0; 31 }
这道题的要求简单粗暴，就是要让你解出能让函数为0的x值，同时题目给定了一个定义域，我们只要针对这个定义域使用二分法来不断缩短其范围即可。
那么，我们在定义好定义域的最大、最小值后，开始判断如何更改中间值：
1.如果中间值对应的fx大于0，那么证明中间值还有潜力变大，所以将最小值变大（将其等于当前的中间值）。
2.如果中间值对应的fx小于0，那么证明中间值要缩小了，否则得不到能让fx为0的x值，所以将最大值变小（将其等于当前的中间值）。
通过不断循环，我们不断压缩题目给定的定义域范围，最后我们能够得出一个确切的值使得fx为0啦。
这道题的要求简单，其思想也很简单——用二分法压缩定义域范围求出题目要求的值。虽然看起来很简单，但我一开始做题的时候用了递归，又因为没设置好结束条件，导致程序陷入死循环。书上提供的二分法，是用递归思想没错，但不代表二分法就要用递归，这两道题的while就是最好的证明，因此二分法的思想要掌握好：分情况来改变中间值，设置好循环终结条件后，得出的结果就是我们想要的结果啦。
