学习后缀数组笔记

　　学习自：https://www.cnblogs.com/victorique/p/8480093.html

后缀：是字符串的一个特殊子串，以s的第i个字符为第一个元素的后缀为suff(i)。

后缀数组：后缀数组sa[i]就表示排名为i的后缀的起始位置的下标。

相反映射：rk[i]就表示起始位置的下标为i的后缀的排名。

倍增法+基数排序实现后缀数组O（nlogn）排序：思想是先对首字符排序（重复），在对相邻相加再排序，直到所有排名不同即可。（需进一步理解）

 

最长公共前缀：

我们定义LCP(i,j)为suff(sa[i])与suff(sa[j])的最长公共前缀。

1. LCP(i,j)=LCP(j,i);
2. LCP(i,i)=len(sa[i])=n-sa[i]+1;

LCP引理

　　LCP(i,k)=min(LCP(i,j),LCP(j,k)) 对于任意1<=i<=j<=k<=n

LCP定理

　　LCP(i,k)=min(min(LCP(j,j-1))) 对于1<i<=j<=k<=n

 

重要定理：

我们设height[i]为LCP(i,i-1)，1<i<=n，显然height[1]=0;

由LCP Theorem可得，LCP(i,k)=min(height[j]) i+1<=j<=k

设h[i]=height[rk[i]]，同样的，height[i]=h[sa[i]];

有：　　

　　h[i]>=h[i-1]-1;

证明：设k=rk[i-1]-1.

则有h[i-1] = height[rk[i-1]]=min(LCP(k-1,k-2) )

rk[i-1]<rk[sa[k]]

rk[i]<rk[sa[k]+1]

LCP( i,rk[sa[k]+1] )=h[i-1]-1;

h[i]>=h[i-1];

 

例题：luogu3809 后缀排序

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define rint register int
#define inv inline void
#define ini inline int
#define maxn 1000050
using namespace std;
char s[maxn];
int y[maxn],x[maxn],c[maxn],sa[maxn],rk[maxn],height[maxn],wt[30];
int n,m;
inv putout(int x) {
    if(!x) {
        putchar(48);
        return;
    }
    rint l=0;
    while(x) wt[++l]=x%10,x/=10;
    while(l) putchar(wt[l--]+48);
}
inv get_SA() {
    for (rint i=1; i<=n; ++i) ++c[x[i]=s[i]];
//c数组是桶
//x[i]是第i个元素的第一关键字
    for (rint i=2; i<=m; ++i) c[i]+=c[i-1];
//做c的前缀和，我们就可以得出每个关键字最多是在第几名
    for (rint i=n; i>=1; --i) sa[c[x[i]]--]=i;
    for (rint k=1; k<=n; k<<=1) {
        rint num=0;
        for (rint i=n-k+1; i<=n; ++i) y[++num]=i;
//y[i]表示第二关键字排名为i的数，第一关键字的位置
//第n-k+1到第n位是没有第二关键字的 所以排名在最前面
        for (rint i=1; i<=n; ++i) if (sa[i]>k) y[++num]=sa[i]-k;
//排名为i的数 在数组中是否在第k位以后
//如果满足(sa[i]>k) 那么它可以作为别人的第二关键字，就把它的第一关键字的位置添加进y就行了
//所以i枚举的是第二关键字的排名，第二关键字靠前的先入队
        for (rint i=1; i<=m; ++i) c[i]=0;
//初始化c桶
        for (rint i=1; i<=n; ++i) ++c[x[i]];
//因为上一次循环已经算出了这次的第一关键字 所以直接加就行了
        for (rint i=2; i<=m; ++i) c[i]+=c[i-1]; //第一关键字排名为1~i的数有多少个
        for (rint i=n; i>=1; --i) sa[c[x[y[i]]]--]=y[i],y[i]=0;
//因为y的顺序是按照第二关键字的顺序来排的
//第二关键字靠后的，在同一个第一关键字桶中排名越靠后
//基数排序
        swap(x,y);
//这里不用想太多，因为要生成新的x时要用到旧的，就把旧的复制下来，没别的意思
        x[sa[1]]=1;
        num=1;
        for (rint i=2; i<=n; ++i)
            x[sa[i]]=(y[sa[i]]==y[sa[i-1]] && y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k]) ? num : ++num;
//因为sa[i]已经排好序了，所以可以按排名枚举，生成下一次的第一关键字
        if (num==n) break;
        m=num;
//这里就不用那个122了，因为都有新的编号了
    }
    for (rint i=1; i<=n; ++i) putout(sa[i]),putchar(' ');
}
inv get_height() {
    rint k=0;
    for (rint i=1; i<=n; ++i) rk[sa[i]]=i;
    for (rint i=1; i<=n; ++i) {
        if (rk[i]==1) continue;//第一名height为0
        if (k) --k;//h[i]>=h[i-1]+1;
        rint j=sa[rk[i]-1];
        while (j+k<=n && i+k<=n && s[i+k]==s[j+k]) ++k;
        height[rk[i]]=k;//h[i]=height[rk[i]];
    }
    putchar(10);
    for (rint i=1; i<=n; ++i) putout(height[i]),putchar(' ');
}
int main() {
    gets(s+1);
    n=strlen(s+1);
    m=122;
//因为这个题不读入n和m所以要自己设
//n表示原字符串长度，m表示字符个数，ascll('z')=122
//我们第一次读入字符直接不用转化，按原来的ascll码来就可以了
//因为转化数字和大小写字母还得分类讨论，怪麻烦的
    get_SA();
//get_height();
}