二分答案

因为期中考试很久没训练 今天是恢复博客更新的第一天 写一写我一直没太整明白的二分答案

先讲一下什么叫二分答案

在一个单调区间里查找答案，在正常的思维下都是用暴力枚举。比如说有几个不同大小、已经从小到大排列好的球， 

它们的直径分别为1，2，3，4，5，10，20（你一开始当然不会知道每一个球的直径），让你从中找出直径为10cm的那一个球。

一般人都会这样做：从头到尾一个一个的量，直到找到答案为止，这样复杂度最坏情况下为O（n），我们有没有更快的方法呢？

答案就是用二分，先从区间里找排在中间的元素，找到第四个元素为4，发现4比10小，所以答案应该在第四个元素的后面。然后再从第五位到最后一位

的区间里找排在中间的元素，找到第六个元素10。OK，问题解决，只用了两次，复杂度为O（log n），优化了很多。

二分答案，就是用二分的方法，在可能的答案区间里找出问题的答案，大多数情况下用于求解满足某种条件下的最大（小）值，前提是答案具有单调性

 

 

上例题！

洛谷P1873 砍树

题目描述

伐木工人米尔科需要砍倒M米长的木材。这是一个对米尔科来说很容易的工作，因为他有一个漂亮的新伐木机，可以像野火一样砍倒森林。不过，米尔科只被允许砍倒单行树木。

米尔科的伐木机工作过程如下：米尔科设置一个高度参数H（米），伐木机升起一个巨大的锯片到高度H，并锯掉所有的树比H高的部分（当然，树木不高于H米的部分保持不变）。米尔科就行到树木被锯下的部分。

例如，如果一行树的高度分别为20，15，10和17，米尔科把锯片升到15米的高度，切割后树木剩下的高度将是15，15，10和15，而米尔科将从第1棵树得到5米，从第4棵树得到2米，共得到7米木材。

米尔科非常关注生态保护，所以他不会砍掉过多的木材。这正是他为什么尽可能高地设定伐木机锯片的原因。帮助米尔科找到伐木机锯片的最大的整数高度H，使得他能得到木材至少为M米。换句话说，如果再升高1米，则他将得不到M米木材。

输入输出格式

输入格式：

 

第1行：2个整数N和M，N表示树木的数量（1<=N<=1000000）,M表示需要的木材总长度（1<=M<=2000000000）

第2行：N个整数表示每棵树的高度，值均不超过1000000000。所有木材长度之和大于M，因此必有解。

 

输出格式：

 

第1行：1个整数，表示砍树的最高高度。

 

 

这个题的答案有明显的单调性，砍树的高度越低，得到的木材就越多，所以用二分在答案区间里找答案就行了。

上代码

#include<stdio.h>
#include<iostream>
typedef long long ll;
const int e=(int)1e6+5;

using namespace std;
ll m,n;
ll num[e];
ll mid;
ll check(ll x)
{
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(num[i]>x)
        ans+=(num[i]-x);
    }
    return ans;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin >> num[i];
    }
    ll r=1000000000;
    ll l=1;
    while(r>=l){
        mid=(r+l)>>1;
       // cout << "*******" << '\n';
        ll z=check(mid);
        if(z<m)
        r=mid-1;
        else{
            l=mid+1;
        }
    }
    cout << r << '\n';
    return 0;
}

　　

让我们再来看一题

P2678 跳石头

题目背景

一年一度的“跳石头”比赛又要开始了!

题目描述

这项比赛将在一条笔直的河道中进行，河道中分布着一些巨大岩石。组委会已经选择好了两块岩石作为比赛起点和终点。在起点和终点之间，有 NN 块岩石（不含起点和终点的岩石）。在比赛过程中，选手们将从起点出发，每一步跳向相邻的岩石，直至到达终点。

为了提高比赛难度，组委会计划移走一些岩石，使得选手们在比赛过程中的最短跳跃距离尽可能长。由于预算限制，组委会至多从起点和终点之间移走 MM 块岩石（不能移走起点和终点的岩石）。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行包含三个整数 L,N,ML,N,M，分别表示起点到终点的距离，起点和终点之间的岩石数，以及组委会至多移走的岩石数。保证 L \geq 1L≥1 且 N \geq M \geq 0N≥M≥0。

接下来 NN 行，每行一个整数，第 ii 行的整数 D_i( 0 < D_i < L)Di​(0<Di​<L)， 表示第 ii 块岩石与起点的距离。这些岩石按与起点距离从小到大的顺序给出，且不会有两个岩石出现在同一个位置。

 

输出格式：

 

一个整数，即最短跳跃距离的最大值。

上代码

#include<stdio.h>
#include<iostream>

using namespace std;

int l,n,m;
int num[50005];


int check(int x)
{
    int cnt=0;
    int flag=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(num[i]-flag<x&&i<=n)
        i++,cnt++;
        flag=num[i];
    }
    return cnt;
}


int main()
{        
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> l >> n >> m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin >> num[i];
    } 
    num[++n]=l;
    int left=1 , right=l;
    while(left<=right)
    {
        int mid=(left+right)>>1;
        int z=check(mid);
        if(z>m)
        right=mid-1;
        else{
            left=mid+1;
        }
    }
    cout << right << '\n';
    return 0;
}