51nod1675 序列变换

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题意：

给定长为n的序列a,b，下标从1开始，问有多少对x,y满足gcd(x,y)=1且$a_{b_x}=b_{a_y}$？

$n\leq 10^5.$

 

题解：

$a_{b_x}$和$b_{a_y}$是个幌子，定义成$A_x$和$B_y$就好了，没有什么影响。

考虑倍数反演：记f(i)表示i=gcd(x,y)的方案数；g(i)表示i|gcd(x,y)的方案数。g(i)可以枚举倍数得到。那么有：

$$\begin{equation}g(n)=\sum_{n|d}f(d)\Longrightarrow f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)\end{equation}$$

证明

这里只需要$f(1)=\sum_{i=1}^{n}\mu(i)\times g(i)$。

复杂度$\mathcal{O}(n\log n)$。

 

code:

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
#define ll long long
#define inf 1000000001
#define y1 y1___
using namespace std;
char gc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
#define gc getchar
ll read(){
    char ch=gc();ll x=0;int op=1;
    for (;!isdigit(ch);ch=gc()) if (ch=='-') op=-1;
    for (;isdigit(ch);ch=gc()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
    return x*op;
}
#define N 100005
int n,a[N],b[N],t[N],mu[N],p[N],cnt;ll ans,g[N];bool vis[N];
void init(int n){
    mu[1]=1;
    rep (i,2,n){
        if (!vis[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for (int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){
            vis[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j]==0) break;
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
int main(){
    n=read();init(n);
    rep (i,1,n) a[i]=read();
    rep (i,1,n) b[i]=read();
    rep (d,1,n){
        for (int i=d;i<=n;i+=d) t[b[a[i]]]++;
        for (int i=d;i<=n;i+=d) g[d]+=t[a[b[i]]];
        for (int i=d;i<=n;i+=d) t[b[a[i]]]--;
    }
    rep (i,1,n) ans+=mu[i]*g[i];
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}